Теорема косинусів

Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c сторони трикутника, а A, B, і C це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos C.\;} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos C.\;}

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;} ⇔ {\displaystyle \cos C=0.\;} {\displaystyle \cos C=0.\;}

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Зміст

1 Доведення (для гострого кута)

2 Доведення теореми косинусів з використанням векторів

3 Див. також

4 Посилання

Доведення (для гострого кута)[ред. | ред. код]

Трикутник

Нехай a, b і c це сторони трикутника, а A, B і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B, що утворює прямий кут із протилежною стороною b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді {\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;} {\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;} звідки {\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;} {\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;}

Це означає, що довжина цього відрізку {\displaystyle a\cdot \sin C.\;} {\displaystyle a\cdot \sin C.\;} Схожим чином, довжина частини b що з'єднує