Линейные пространства

Автор: Merei19 • Ноябрь 26, 2023 • Лабораторная работа • 32,368 Слов (130 Страниц) • 137 Просмотры

Страница 1 из 130

1.1 Определение линейного пространства. Понятие линейного пространства является одним из важнейших понятий современной математики. Множество всех векторов плоскости или трехмерного пространства и, что особенно важно, различные множества функций (функциональные пространства) можно охарактеризовать одними и теми же общими свойствами линейности. Следуя принятому в математике аксиоматическому подходу, выделяют основные из этих свойств в системy аксиом, определяющих общее понятие линейного пространства.

О п р е д е л е н и е. Множество Е элементов х, у, z, ... называется линейным пространством, если в нем определены две oперации:

І.Каждым двум элементам х, у€Е поставлен в соответствие определенный элемент х +у €Е, называемый их суммой.

II. Каждому элементу х €Е и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λх €E— произведение элемента х на скаляр λ -так, что выполнены следующие свойства ( аксиомы)для любых элементов х,y,z €E и любых скаляров λ,μ :

1) х +у=у +х;

2) х +(у +z) = (х + у) + z;

3) существует элемент 0 €Е такой, что х+0=х;

4) λ(μх) =(λμ) х;

5) 1·x = х, 0·х =0 (слева 0-скаляр, а справа элемент множества E);

6) λ(х + y) = λх + λу:

7) (λ + μ)х = λх + μх.

В качестве числовых множителей (скаляров) λ,μ, ... в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае Е называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором - комплексным линейным пространством.

Во всяком линейном пространстве Е для всякого элемента x €Е можно определить противоположный элемент - х, а значит, и операцию вычитания элементов у-х. Положим по определению –х=(-1)x. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7),

x+(-х)=1·х+(-1)·х=0·х= 0.

Далее под разностью х-у будем понимать выражение

x - у = х + (- у).

С л е д с т в и е 1. Нулевой элемент единствен.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что 01 и 02 -нули в Е; тогда 01 +02 =01 , 02 +01 =02 (согласно аксиоме 3). Отсюда, по аксиоме 1) 01 = 02

С л е д с т в и е 2. Если λx=μx где x≠0, то λ=μ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прибавив к обеим частям равенства λx=μx по -μx,получим (λ-μ)x=0 . Если λ≠μ, то отсюда, по аксиоме 4), (λ-μ)-1 [(λ-μ)x]=x=x; полуено противоречие. Значит, λ=μ.

С л е д с т в и е 3. Если λx=λy и λ≠0 , то x=y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прибавляя к обеим частям равенства λx=λy по -λy, получим λ(x-y) = 0. Если λ≠0, то отсюда x-y=λ-1[λ(x-y)]=0, т.е x=y.

1.2. Примеры линейных пространств.

П р и м е р 1. Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой) образует линейное пространство. Напомним что сумма векторов опрделяется по правилу параллелограмма, а произведение вектора х на вещественное число λ определяется как вектор λх, длина котоpoго есть произведение λ на длину х, а направление совпадает с направлением х, если λ > 0, и противоположно ему, если λ<0. Аксиомы линейного пространстваства - это известные свойства операций над векторами (проверьте!).

Таким образом, элементы линейного пространства естественно рассматривать как обобщение векторов. Вместо термина «линейное пространство» употребляется также термин «векторное пространство». В дальнейшем, говоря об элементах линейного пространства, мы будем называть их также векторами.

П р и м е р 2. Рассмотрим множество Rm всевозможных упорядоченных наборов (столбцов) из т вещественных чисел

X=(ξ)i=1m , y=(η)i=1m , z=(ζ)i=1m .

Числа ξ1,…, ξm будем называть координатами столбца. Под суммой столбцов х + у будем понимать столбец, координаты которого- суммы ответствующих координат столбцов х и у, т.е x+y= (ξi+ηi)i=1m . Под столбцом λx ,где λ-вещественное число, будем понимать столбец (λξi)i=1m . Роль нуля играет столбец 0=(0)i=1m . Поскольку операции над столбцами сводятся к операциям над координатами - вещественными числами, для которых аксиомы линейного пространства выполняются тривиально, то эти же аксиомы справедливы и для столбцов. Таким образом, Rm является линейным пространством.

Аналогично можно рассмотреть и столбцы комплексных чисел с умножением их на комплексные числа. В результате мы получим комплексное линейное пространство столбцов.

Рассмотрим теперь примеры линейных пространств функций. Сделаем сначала некоторые общие замечания. Пусть D- некоторое множество элементов t произвольной природы, и пусть каждому t € D поставлен в соответствие элемент х(t) линейного пространства Е, т. е. задана функция х=х(t) с областью определения D и с областью значений в Е. Под суммой (х + y) (t) двух таких функций х (t) и у (t) будем понимать функцию (х +y) (t) =x(t)+ у (t). Под произведением (λх) (t) функции х(t) на число λ будем понимать функцию (λх) (t) = λx (t).

В предлагаемых ниже примерах рассматриваются функции с вещественными или комплексными значениями, т. е. Е- вещественная ось или комплексная плоскость. Как и в примере 2, операции над такими функциями сводятся к операциям над вещественными или комплексными числами. Фиксируя D и выбирая тот или иной класс функций, мы автоматически получим выполнение аксиом линейного пространства, если только х + у и λх принадлежат выбранному классу функций вместе с х и у.

П р и м е р 3. Рассмотрим пространство всех многочленов степени, не превышающей k: x(t) = x0 +x1t+…+xktk (x0,x1,…,xk - произвольные вещественные числа, t€D=(-∞,+∞)). Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, мы получаем линейное пространство многочленов.

Точно так же можно рассмотреть комплексное линейное пространство многочленов степени не выше k. Его элементы х(t) имеют вид х(t) =x0+ х1 t +….+xk tk (x0,x1,…,xk - комплексные числа, t-комплексная переменная, изменяющаяся на комплексной плоскости D).

П р и м е р 4. Пространство непрерывных функций С[а, b]. Пусть D = [a, b]. Берем всевозможные непрерывные на [а, b] функции х(t), у (t). Так как х(t) + у (t) непрерывна на [a,b], как сумма непрерывных функций, и λх (t) также непрерывна, то С [а, b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.

П р и м е р 5. Пространство Ck [а, b] (k - натуральное число) - пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций. Поскольку λx (t) € Ck [a, b], если х(t)€Ck [а, b], и х (t) +y(t) €Ck [а, b], если х (t) и у(t)€ Сk [а, b], то Сk [а, b]-линейное пространство.

П р и м е р 6. Рассмотрим множество Мmn всех прямоугольных матриц порядка m×n cо скалярными элементами

а11 а12 . . . а1п b11 b12 . . . b1п[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

(а ij ) = а21 а22 . . . а2п , (b ij ) = b21 b22 . . . b2п

. . . . . . . . . . . . . .

ап1 ап2 . . . апп bп1 bп2 . . . bпп

Определим в Mmn операции

(а ij ) + (b ij ) = (а ij + b ij ) , λ(а ij ) = ( λ а ij )

Поскольку операции над матрицами сводятся к операциям над числами, то справедливость аксиом очевидна. Если элементы матриц и скаляры λ вещественны (комплексны), то мы приходим к вещественному (комплексному) линейному пространству.

В дальнейшем мы встретимся и с другими примерами линейных пространств.

1.3. Линейная зависимость и линейная независимость элементов. Ниже Е- линейное пространство. Пусть даны элементы x1, x2 ,…,x1€E . Всякая сумма вида ,где αk - числа, называется линейной комбинацией элементов x1, x2 ,…,xl . [pic 5]

Элементы x1, x2 ,…,xl называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация , не все αk равны 0 (т.е. . Если равенство возможно только при условии α1 = α2=… = αl = 0, то элементы x1, x2 ,…,xl называются линейно независимыми.[pic 6][pic 7][pic 8]

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что один элемент (вектор) линейного пространства линейно зависим в том и только в том случае, когда он равен нулю. Покажите, что n векторов при n2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих векторов является линейной комбинацией остальных n -1 векторов. [pic 9]

Как известно, понятие линейной зависимости обобщает понятия коллинеарности и компланарности векторов.

У п р а ж н е н и е 2. Найдите α, при котором векторы (1, 2, 3), (1, 1,0) и (α,1, 1) компланарны, т. е. линейно зависимы.

У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что в С[0,π] функции 1,cos t, cos2 t линейно независимы, а функции 1, cos2t, cos2t линейно зависимы.

У п р а ж н е н и е 4. Пусть элементы х1, x2, ..., xm линейного пространства Е линейно независимы. Покажите, что любые R из этих векторов, 1km т, также линейно независимы. [pic 10][pic 11]

1.4. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Линейное пространство называется m-мерным, если в нем существует m линейно независимых векторов, а всякие [pic 12] векторов линейно зависимы.

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что [pic 13] (см. Пример 2 п. 1.2.) столбцы [pic 14], [pic 15]([pic 16] при [pic 17][pic 18] при [pic 19] - так называемый символ Кронекера), линейно независимы.

У п р а ж н е н и е 2. Покажите, что [pic 20] всякие , векторов линейно зависимы. Для этого составьте матрицу из координат этих векторов и воспользуйтесь тем, что ее ранг не превосходит m.

Из упражнений 1 и 2 следует, что [pic 21] m-мерно.

О п р е д е л е н и е 1. Набор любых m линейно независимых векторов, в m-мерном линейном пространстве Е называется базисов в Е.

Фиксируем в m-мерном линейном пространстве Е базис [pic 22]. Пусть [pic 23]; вследствие m-мерности Е векторы [pic 24] х линейно зависимы. Но тогда найдутся скаляры [pic 25] такие, что [pic 26] При этом [pic 27] иначе векторы [pic 28] были бы линейно зависимы. Следовательно,

[pic 29] (1)

где [pic 30], [pic 31]

Представление (1) произвольного вектора m-мерного пространства Е называется разложением вектора х по базису [pic 32]. Числа [pic 33] называются координатами вектора х в базисе [pic 34].

СЕМИНАР

У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что представление (1) вектора единственно, т.е. при фиксированном базисе координаты всякого вектора х однозначно определяются вектором х.

У п р а ж н е н и е 4. Разложите вектор [pic 35] по базису [pic 36], введенному в упражнении 1.

Конечномерные линейные пространства систематически изучаются в вузовском курсе линейном алгебры. Нас здесь интересуют главным образом бесконечномерные линейные пространства.

О п р е д е л е н и е 2. Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если для каждого натурального n в Е существует n линейно независимых элементов.

У п р а ж н е н и е 5. Покажите, [pic 37] бесконечномерно. Рассмотрите последовательность функций [pic 38] и покажите, что [pic 39] линейно независимы для любого натурального n. Покажите, что [pic 40] также бесконечномерно.

Линейные и аффинные многообразия.

О п р е д е л е н и е 1. Множество Е в линейном пространстве Е называется линейным многообразием (линейным множеством), если для любых х, [pic 41]и любых скаляров [pic 42] линейная комбинация [pic 43]

Заметим, что поскольку Е является частью линейного пространства Е, то из определения линейного многообразия Е следует, что Е также само является линейным пространством.

Приведем примеры линейных многообразий.

П р и м е р 1. Пусть [pic 44] - линейное пространство всех вещественных функций, определенных на [pic 45]. Тогда[pic 46]- линейное многообразие в[pic 47]. Это вытекает из известного в математическом анализе факта, что линейная комбинация двух непрерывных на [pic 48] функций есть функция, непрерывная на этом отрезке.

П р и м е р 2. Пространство [pic 49], является линейным многообразием в пространстве [pic 50], так как всякая [pic 51] раз непрерывно дифференцируемая на [pic 52] функция непрерывна на [pic 53], а линейная комбинация функций из [pic 54] снова является функцией из [pic 55] (почему?).

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что при [pic 56] [pic 57] - линейное многообразие в [pic 58].

У п р а ж н е н и е 2. Покажите, что множество всех многочленов степени не выше [pic 59] является [pic 60]-мерным линейным многообразием в [pic 61].

У п р а ж н е н и е 3. Покажите, что в [pic 62] множество всех функций, удовлетворяющий граничным условиям [pic 63], является линейным многообразием тогда и только тогда, когда [pic 64]

У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что множество решений линейной однородной системы [pic 65] уравнений c [pic 66] неизвестными

[pic 67]

При [pic 68] является [pic 69]-мерным линейным многообразием в [pic 70], где[pic 71]-ранг матрицы системы.

У п р а ж н е н и е 5. Докажите, что множество решений линейного дифференциального уравнения [pic 72]-го порядка

[pic 73]

(коэффициенты [pic 74] непрерывны на [pic 75]) образует [pic 76]-мерное линейное многообразие в [pic 77].

С понятием линейного многообразия тесно связано понятие аффинного многообразия. Введем сначала следующее обозначение. Пусть [pic 78]- некоторое множество в линейном пространстве Е. Множество векторов из Е вида [pic 79]где [pic 80] пробегает [pic 81], будем обозначать [pic 82] Короче,

[pic 83]

О п р е д е л е н и е 2. Пусть [pic 84]- линейное многообразие в линейном пространстве Е. Фиксируем [pic 85] Множество [pic 86] называется аффинным многообразием в Е. Если Е конечномерно, то размерность [pic 87] называется размерностью аффинного многообразия [pic 88]. В трехмерном пространстве всякая прямая и всякая плоскость, не проходящие через начало координат, являются аффинными многообразиями.

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что множество решений совместной линейной неоднородной системы [pic 89] уравнений с [pic 90]неизвестными

[pic 91], [pic 92]

является [pic 93]-мерным аффинным многообразием в [pic 94], где[pic 95]-ранг матрицы системы.

У п р а ж н е н и е 7. Докажите, что множество решений линейного неоднородного дифференциального уравнения[pic 96]-го порядка

[pic 97]

где коэффициенты [pic 98], и правая часть[pic 99] непрерывны на [pic 100], образует [pic 101]-мерное аффинное многообразие в [pic 102].

Изоморфизм линейных пространств. Рассмотрим линейные пространства [pic 103] и [pic 104]; пусть каждому элементу [pic 105]поставлен в соответствие определенный элемент [pic 106], т.е. задана фунция [pic 107], определенная всюду на [pic 108], со значениями в [pic 109]. Будем говорить, что пространства [pic 110] и [pic 111], т.е.

1) [pic 112] для любых элементов [pic 113] и любых скаляров [pic 114];

2) если [pic 115], то [pic 116];

3)для любого [pic 117]найдется [pic 118] такой, что [pic 119].

Приведем примеры изоморфных линейных пространств.

П р и м е р 1. Пространство многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше [pic 120]изоморфно [pic 121]. Действительно, пусть [pic 122] рассмотрим функцию [pic 123], отображающую каждый такой многочлен в столбец [pic 124], т.е.

У п р а ж н е н и е. Проверьте, что [pic 125]- линейная, взаимно однозначная функция.[pic 126]

П р и м е р 2. Всякое [pic 127]-мерное вещественное линейное пространство Е изоморфно [pic 128].

Фиксируем в Е базис [pic 129]. Тогда всякий [pic 130] однозначно представим в виде [pic 131](см. формулу (1) п. 1.4.) Положим для всякого [pic 132]

[pic 133]

Если [pic 134], то [pic 135], т.е. справедливо свойство линейности координат: координаты линейной комбинации векторов равны той же линейной комбинации соответствующих координат этих векторов. Следовательно,

[pic 136]

Взаимная однозначность [pic 137] есть следствие единственности координат вектора (при фиксированном базисе). Итак, Е изоморфно [pic 138]

Выпуклые множества в линейных пространствах. Пусть Е – линейное пространство. Отрезком, соединяющим точки [pic 139], называется совокупность всех точек х вида

[pic 140], [pic 141].

О п р е д е л е н и е 1. Множество W в линейном пространстве Е называется выпуклым, если всякий раз из того, что [pic 142], следует, что W принадлежит отрезок, соединяющий и .

У п р а ж н е н и е 1. Покажите, что всякое линейное многообразие в Е является выпуклым множеством.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть W – выпуклое множество, а [pic 143] . Покажите, что множество [pic 144]– выпуклое. Отсюда, в частности, вытекает выпуклость аффинных многообразий.

Введем теперь понятие выпуклого функционала. Пусть на линейном пространстве Е задана функция, ставящая каждому [pic 145] в соответствие число [pic 146]. В этом случае говорят, что на E задач функционал p(x). Если все значения p(x) вещественны, то функционал p(x) называется вещественным функционалом.

Определение 2. Вещественный функционал p(x) называется выпуклым, если для любых х1, х2 € Е и любых t €[0,1]

p((1 – t )x1+tx2)≤(1 – t )p(x1)+tp(x2).

С помощью выпуклых функционалов можно строить выпуклые множества. Фиксируем элемент

x0 € E и вещественное число c.

Рассмотрим следующее множество:

Q={x € E : p(x – x0)<c}.

Покажем, что Q выпукло. Действительно, пусть х1, х2 € Q, т.е. p(x1 – x0) < c; тогда для всех t € [0,1] p((1 – t)x1 + tx2 – x0) = p((1 – t)(x1 – x0) + t(x2 – x0)) ≤ (1 – t)p(x1 – x0) < (1 – t)c + tc = c.

Следовательно, вместе с x1 и х2 Q содержит соединяющий их отрезок, т.е. Q выпукло.

Упражнение 3. Пусть p(x) – выпуклый функционал, x0 – вектор, с – вещественное число. Докажите выпуклость множетсва

Ǭ={x € Х : p(x – x0)≤ c}.

Упражнение 4. Покажите, что перечесение произвольного числа выпуклых множетсв является выпуклым множеством.

Комплексификация и декомплексификация. Пусть Е – вещественное линейное пространсво. Покажем, что Е можно включить в некоторое комплексное линейное пространство Е. Рассмотрим, всевозможное формальные суммы z = x + iy, где x,y € E, а i – мнимая единица. Если, кроме того, z1 = x1 + iy1, то определим

z + z1 = (x + x1) + i(y + y1),

(α + βi)z = (αx – βy) + i(αy + βx)

(α и β – вещественные скаляры).

Множетсво формальных сумм z теперь, как нетрудно видеть, превратилось в комплексное линейное пространство, которое обычно называют комплексной оболочкой Е и которое мы обозначим, через Ē. Наше исходное пространсво Е включается в Ē, ибо все элементы из Ē вида x+i·0 с умножением на скаляры α+i·0 составляет Е . Токое включение вещественного линейного пространсва Е в комплексное линейное пространство Ē называется комплексификацией пространства Е.

Декомплексификация есть процедура, обратная (в определенном смысле) комплексификации. Пусть Е-комплексное линейное пространство. Каждый его вектор z запишем в виде z=х+ iy, где х и у – вещественные элементы Е. Рассмотрим вещественное линейное пространство E пар (х, у), в котором по определению (λ — вещественный скаляр)

(х1, у1) +(х2, у2)=( х1+х2,y1+y2) ,

λ(x,y)=(λx,λy)

CЕМИНАР

Упражнение 1. Проверыте для Е аксиомы линейного пространства.

Упражне ние 2. Пусть Е – m-мерное комплексное линейное пространство. Тогда Е – 2m-мерное вещественное линейное пространство.

Переход от Е к Е и называется декомплексификацией комплексного линейного пространства Е.

Комплексификация и декомплексификация применяются тогда, когда хотят воспользоваться результатами, полученными для одного из случаев – комплексного или вещественного, - в другом случае.

Задачи.

1. Пусть Мmn —линейное пространство прямоугольных матриц порядка mxn (см. пример 6 п. 1.2). Докажите, что пространство Мmn mn-мерно. Найдите базис в Мmn. В вещественном случае установите изоморфизм между Мmn и Rmn

2. Покажите, что множество всевозможных дифференциальных операторов порядка не выше n

P(D)= Dk, Q(D)= Dk,…[pic 147][pic 148]

здесь t[а, b]. коэффициенты pk(t), qk(t) непрерывны на [а, b], Dk=dk/dtk, D0=1) операциями[pic 149]

λP(D)=pk(t)]Dk,[pic 150]

P(D)+Q(D)=pk(t)+qk(t)]Dk[pic 151]

образует линейное пространство.

3. Во множестве R+= (0, +) положительных чисел (злементов) введем операции. Под «суммой» злементов х, у R+ будем понимать их произведение, а под «произведением» элемента х на вещественное число λ будем понимать элемент хλ. Покажите, что при таком определении операций R+ превратилось в линейное пространство. Как выглидят в R+ «нуль» и «противоположный элемент»? [pic 152][pic 153]

4. Докажите, что формула J(х)=lnх, х R+, осуществляет изоморфизм R+ на R1. [pic 154]

5. Обозначим через β(E) множество всех подмножеств линейного пространства Е. Если M,N β(E), то определим:[pic 155]

M+N={x+y;xM,yN}, λM={λx; xM},[pic 156][pic 157][pic 158]

- M=(-1)/M={-x; xM}, M – N = M + (-1)*N.[pic 159]

Какие из аксиом линейного пространства выполнены в β(E)?

6.Рассмотрим в Rm k столбцов xi = , i=1,2, … ,k; образуем из этих столбцов матрицу (ξij),i=1, …,k, j=1, … ,m; пусть r - ее ранг. Покажите, что если r=k и k≤m, то x1,… ,xk линейно независимы. Если же k>m или r<k, то x1,… ,xk линейно независимы.[pic 160]

7. Докажите, что два конечномерных линейных пространства (оба вещественные или оба комплексные) изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.

8. Пусть Е и Е- изоморфные конечномерные линейные пространства и формуда x = J(x) осуществляет их изоморфизм, Докажите, что – базис в Е, если – базис в Е.[pic 161][pic 162]

9. Пусть Е1 и Е2 – два линейных многообразия в линейном пространстве Е . Докажите формулу Грассмана dim (E1 E2) + dim (E1 + E2) = dim E1 + dim E2 . Здесь dim E - размерность E, a E1 + E2 - нaименьшее линейное многообразие, содержащее Е1 и Е2.[pic 163]

10. Пусть х1, ... , хп – точки выпуклого множества W в линейном пространстве Х, а λ1, ... , λп – неотрицательные скаляры такие, что i= 1. Тогда ixi. Докажите.[pic 164][pic 165][pic 166]

11. Пусть М и N выпуклы. Тогда множества λМ и МN (определение см. в задаче 5) также выпуклы. Докажите. [pic 167]

12. Пусть Е - n-мерное вещественное пространство, а Е - комплексное пространство, полученное из Е после комплексификации. Какова размериость Е, если рассматривать его как веществениое пространство?

Нормированные пространства

В предыдущем параграфе мы рассмотрели линейные пространства. Следующим нашим шагом будет введение нормированных пространств. Понятие модуля вещественного числа, комплексного числа или вектора позволяет ввести расстояние, или, как принято говорить, метрику, на числовой оси, в комплексной плоскости или в пространстве векторов соответственно. Наличне метрики, в свою очередь, позволяет рассмотреть важнейшие вопросы о сходимости последовательностей и рядов, о предельном переходе, о непрерывности н дифференцируемости функций и т.п.

Определение нормированного пространства.

Определение 1. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому х Е поставлено в соответствие неотрицательное число ||x|| (норма х) так, что выполнены следующие три аксиомы: [pic 168]

1)||x||≥ 0; ||x||=0 в том и только в том случае, когда x=0

2) ||λx||=|λ|*||x||;

3) ||x+y||≤||x||+||y||.

Таким образом,норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1) – 3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) – условием однородности нормы, а аксиома 3) – неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

||x – y||≥| ||x|| - ||y|| | (1)

Докажем это неравенство. По неравенству треугольннка имеем

||x||=||(x – y) + y|| ≤ ||x – y || + ||y||,

откуда ||x –y||≥||x|| - ||y||; меняя ролями х и у, получим и

||x – y||≥||y|| - ||x||

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

р(x,y)=||x – y||.

Упражнение 1. Показать, что расстояние р(х, у) удовлетворяет следующим трем свойствам:

α) р(x,y)≥0; р(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;

β) р(x,y)= р(y,x);

γ) р(x,y)≤ р(x,z)+ р(z,y)

Определение 2. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число р(х, у), удовлетворяющее аксиомам α), β), γ). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

Рассмотрим в нормированном пространстве Е множествоSr(x0)={xE: ||x – x0||<r}, где x0Е — фиксированная точка, а г > 0. Множество Sr(х0) называется открытым шаром с центром в х0, радиуса r. Аналогично, множество[pic 169][pic 170]

Sr(x0) = { xE: ||x – x0||≤r}[pic 171]

называется замкнутым шаром (с центром в x0, радиуса r). Множество

σr(x0)={xE: ||x – x0||=r
[pic 172]

называется сферой, Очевидно, Sr(x0)= Sr(x0) σr(x0)[pic 173]

2) ||λx||=|λ|*||x||;

3) ||x+y||≤||x||+||y||.

||x – y||≥| ||x|| - ||y|| | (1)

Докажем это неравенство. По неравенству треугольннка имеем

||x||=||(x – y) + y|| ≤ ||x – y || + ||y||,

откуда ||x –y||≥||x|| - ||y||; меняя ролями х и у, получим и

||x – y||≥||y|| - ||x||

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

р(x,y)=||x – y||.

Упражнение 1. Показать, что расстояние р(х, у) удовлетворяет следующим трем свойствам:

α) р(x,y)≥0; р(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;

β) р(x,y)= р(y,x);

γ) р(x,y)≤ р(x,z)+ р(z,y)

Sr(x0) = { xE: ||x – x0||≤r}[pic 176]

называется замкнутым шаром (с центром в x0, радиуса r). Множество

σr(x0)={xE: ||x – x0||=r
[pic 177]

называется сферой, Очевидно, Sr(x0)= Sr(x0) σr(x0)[pic 178]

Упражнение 2. Покажите, что является выпуклым функционалом в Е и, следовательно, согласно п. 1.7, шары () и () выпуклы. Будет ли () выпуклым множеством в Е? [pic 179][pic 180][pic 181][pic 182][pic 183][pic 184][pic 185]

Далее будет приведено много примеров нормированных пространств. Пока же мы ограничимся простейшими примеерами.

Пример 1. В вещественнном линейном пространстве m-мерных столбцов введем норму[pic 186]

=.[pic 187][pic 188]

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенсво треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается .[pic 189]

Упражнение 3. Как выглядят (), (), () в при m=1,2,3?\[pic 190][pic 191][pic 192][pic 193][pic 194][pic 195][pic 196]

Пример 2. Простаранство .Введем в норму [pic 197][pic 198]

=max .[pic 199][pic 200]

1im[pic 201][pic 202]

Проверим аксиомы нормы.

0 – это очевидно. Пусть =0, т.е. max =0;[pic 203][pic 204][pic 205]

1im[pic 206][pic 207]

= * , откуда вытекает однородность нормы. [pic 208][pic 209][pic 210]
+ max + max, т.е. +.[pic 211][pic 212][pic 213][pic 214][pic 215][pic 216][pic 217][pic 218][pic 219][pic 220]

Переходя в этом неравенстве слева к max по i, получим неравенство треугольника.

Упражнение 4. Как выглядят в (), (), () при m=1,2,3?[pic 221][pic 222][pic 223][pic 224][pic 225][pic 226][pic 227]

Замечание. Множество r в называют обычно m-мерным кубом. Этто оправдывает наше обозначение - «норма кубическая». Множество r в называют m-мерным шаром (- «норма сферическая» ). [pic 228][pic 229][pic 230][pic 231][pic 232][pic 233][pic 234][pic 235]

Предел последовательности. Рассмотрим в нормированном пространстве Е последовательность элементов .[pic 236]

Определение 1. Элемент Е называется пределом последовательности , то будем писать . Если есть предел , то будем писать при . И говорить, что последовательность сходится к или просто сходится. Назовемокрестностью точки любой открытый шар ().[pic 237][pic 238][pic 239][pic 240][pic 241][pic 242][pic 243][pic 244][pic 245][pic 246][pic 247][pic 248]

CЕМИНАР

пражнение 1. Покажите, что если , то [pic 249]

В любой окрестности точки находятся все члены последовательности , за исключением, быть может, их конечного числа; [pic 250][pic 251]
Предел единствен;[pic 252]
Любая последовательность последовательности сходится к ;[pic 253][pic 254]
Если при при [pic 255][pic 256][pic 257]
Если, кроме того , , (, ), то [pic 258][pic 259][pic 260][pic 261]
.[pic 262][pic 263][pic 264]

Определение 2. Множество МЕ назовем ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, М ограничено, если существует такое число С, что для всех х М выполняется неравенство .[pic 265][pic 266][pic 267][pic 268]

Упражнение 2.Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пример 1. Рассмотрим пространство (см. пример 2 п. 2.1). Какова будет сходимость в ?[pic 269][pic 270]

Пусть [pic 271]

Значит, , , i=1. ...,m. Это ознчает, что каждая координата вектора сходится к соответствующей координате вектора . Можно поэтому сказать, что сходимость в – покоординатная.[pic 272][pic 273][pic 274][pic 275][pic 276]

Пример 2. Рассмотрим пространство (см. пример 1 п. 2.1). Пусть [pic 277]

. Это означает , что при .[pic 278][pic 279]

. (1) [pic 280]

Поскольку для любого х= [pic 281]

то из (1) следует, что [pic 282]

[pic 283]

Согласно предыдущему примеру это означает, что сходимость в также покоординатная.[pic 284]

Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм.

В этом пункте мы доказываем для важных вспомогательных неравенства.

Пусть числа p связаны соотношением 1/p + 1/q = 1 Расммотрим на полуоси [0,+) функцию [pic 285][pic 286]

[pic 287]

Упражнение.Докажите с помощью дифференциального исчисления, что t=1 единственная точка минимума функции [0,+) и что, таким образом, справедливо неравенство [pic 288][pic 289]

[pic 290]

Положим в (1) t=u, u[pic 291][pic 292]

[pic 293]

Исходя из неравенства (2), мы докажем неравентсва Гёльдера для сумм. Для любых комплексных чисел , . . . , ; справедливо следующее неравенство Гёльдера: [pic 294][pic 295][pic 296]

[pic 297]

Для доказательства введем обозначения

[pic 298]

Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это не так, то (3) очевидно).

Полагая в (2) u, получим [pic 299]

[pic 300]

Суммируя по k от 1 до m, имеем

[pic 301]

Следовательно6 справедливо неравенство Гёльдера

[pic 302]

Докажем теперь неравенство Минковского

[pic 303]

(4)

Прежде всего заметим , что

[pic 304]

[pic 305]

К каждой из сумм в правой части применим неравенство Гёльдера:

[pic 306]

[pic 307]

ибо (p-1)q=p. Точно так же

[pic 308]

Складывая два последних неравенства, получим

[pic 309]

(5)

Будем считать, что (если эта сумма равна нулю, то неравенство Минковского (4) очевидно). Деля неравенство (5) на [pic 310]

и вспоминая, что , получаем искомое неравенство (4). [pic 311][pic 312]

2,4 Пространство . Пусть p Превратим в нормированное пространство, которое мы будем обозначать , вводя в нем норму по следующей формуле : [pic 313][pic 314][pic 315][pic 316]

[pic 317]

Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна, и мы предоставляем ее читателю.

Аксиома треугольника представляет собою доказанное в п. 2.3

при неравенства Минковского.[pic 318]

Упражнение 2. Покажите, что является выпуклым функционалом в Е и, следовательно, согласно п. 1.7, шары () и () выпуклы. Будет ли () выпуклым множеством в Е? [pic 319][pic 320][pic 321][pic 322][pic 323][pic 324][pic 325]

Пример 1. В вещественнном линейном пространстве m-мерных столбцов введем норму[pic 326]

=.[pic 327][pic 328]

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается .[pic 329]

Упражнение 3. Как выглядят (), (), () в при m=1,2,3?\[pic 330][pic 331][pic 332][pic 333][pic 334][pic 335][pic 336]

Пример 2. Простаранство .Введем в норму [pic 337][pic 338]

=max .[pic 339][pic 340]

1im[pic 341][pic 342]

Проверим аксиомы нормы.

0 – это очевидно. Пусть =0, т.е. max =0;[pic 343][pic 344][pic 345]

1im[pic 346][pic 347]

= * , откуда вытекает однородность нормы. [pic 348][pic 349][pic 350]
+ max + max, т.е. +.[pic 351][pic 352][pic 353][pic 354][pic 355][pic 356][pic 357][pic 358][pic 359][pic 360]

Переходя в этом неравенстве слева к max по i, получим неравенство треугольника.

Упражнение 4. Как выглядят в (), (), () при m=1,2,3?[pic 361][pic 362][pic 363][pic 364][pic 365][pic 366][pic 367]

Замечание. Множество r в называют обычно m-мерным кубом. Этто оправдывает наше обозначение - «норма кубическая». Множество r в называют m-мерным шаром (- «норма сферическая» ). [pic 368][pic 369][pic 370][pic 371][pic 372][pic 373][pic 374][pic 375]

2.2 Предел последовательности. Рассмотрим в нормированном пространстве Е последовательность элементов .[pic 376]

Определение 1. Элемент Е называется пределом последовательности , то будем писать . Если есть предел , то будем писать при . И говорить, что последовательность сходится к или просто сходится. Назовемокрестностью точки любой открытый шар ().[pic 377][pic 378][pic 379][pic 380][pic 381][pic 382][pic 383][pic 384][pic 385][pic 386][pic 387][pic 388]

Упражнение 1. Покажите, что если , то [pic 389]

В любой окрестности точки находятся все члены последовательности , за исключением, быть может, их конечного числа; [pic 390][pic 391]
Предел единствен;[pic 392]
Любая последовательность последовательности сходится к ;[pic 393][pic 394]
Если при при [pic 395][pic 396][pic 397]
Если, кроме того , , (, ), то [pic 398][pic 399][pic 400][pic 401]
.[pic 402][pic 403][pic 404]

Упражнение 2.Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пример 1. Рассмотрим пространство (см. пример 2 п. 2.1). Какова будет сходимость в ?[pic 409][pic 410]

Пусть [pic 411]

Пример 2. Рассмотрим пространство (см. пример 1 п. 2.1). Пусть [pic 417]

. Это означает , что при .[pic 418][pic 419]

. (1) [pic 420]

Поскольку для любого х= [pic 421]

то из (1) следует, что [pic 422]

[pic 423]

Согласно предыдущему примеру это означает, что сходимость в также покоординатная.[pic 424]

2.3. Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм. В этом пункте мы доказываем для важных вспомогательных неравенства.

Пусть числа p связаны соотношением 1/p + 1/q = 1 Расммотрим на полуоси [0,+) функцию [pic 425][pic 426]

[pic 427]

Упражнение.Докажите с помощью дифференциального исчисления, что t=1 единственная точка минимума функции [0,+) и что, таким образом, справедливо неравенство [pic 428][pic 429]

[pic 430]

Положим в (1) t=u, u[pic 431][pic 432]

[pic 433]

Исходя из неравенства (2), мы докажем неравентсва Гёльдера для сумм. Для любых комплексных чисел , . . . , ; справедливо следующее неравенство Гёльдера: [pic 434][pic 435][pic 436]

[pic 437]

Для доказательства введем обозначения

[pic 438]

Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это не так, то (3) очевидно).

Полагая в (2) u, получим [pic 439]

[pic 440]

Суммируя по k от 1 до m, имеем

[pic 441]

Следовательно6 справедливо неравенство Гёльдера

[pic 442]

Докажем теперь неравенство Минковского

[pic 443]

(4)

Прежде всего заметим , что

[pic 444]

[pic 445]

К каждой из сумм в правой части применим неравенство Гёльдера:

[pic 446]

[pic 447]

ибо (p-1)q=p. Точно так же

[pic 448]

Складывая два последних неравенства, получим

[pic 449]

(5)

Будем считать, что (если эта сумма равна нулю, то неравенство Минковского (4) очевидно). Деля неравенство (5) на [pic 450]

и вспоминая, что , получаем искомое неравенство (4). [pic 451][pic 452]

2,4 Пространство . Пусть p Превратим в нормированное пространство, которое мы будем обозначать , вводя в нем норму по следующей формуле : [pic 453][pic 454][pic 455][pic 456]

[pic 457]

Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна, и мы предоставляем ее читателю.

Аксиома треугольника представляет собою доказанное в п. 2.3

при неравенства Минковского.[pic 458]

мость ее в среднем на [a,b]. Возникает вопрос- верно ли обратное: будут ли оба введенных вида сходимости эквивалентны?

СЕМИНАР

Рассмотрим множество Cα[a,b], αϵ(0,1], всех непрерывных на [a,b] функций, для которых выполняется условие Гельдера

[pic 459]

Покажите, что Cα[a,b] будет нормированным пространством,если в нем норму задать так:

[pic 460]

Введем в Rm «норму» для 0˂p˂1 :

[pic 461]

Будет ли шар Sr(x0) выпуклым множеством? Какие аксиомы нормы выполняются?

Сходятся ли в C[0,1] последовательности {tn-tn+1}, {tn –t2n}?
Сходится ли последовательность

в C[0,1]; в C1[0,1]?[pic 462]

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму функционалы

[pic 463]

[pic 464]

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций в качестве нормы использовать функционалы

[pic 465]

[pic 466]

Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается знак равенства в неравенствах Гельдера (p>1): а) для конечных сумм, б) для рядов, в) для интегралов.
Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается знак равенства в неравенствах Минковского (p>1).

Анализ в нормированных пространствах

Открытые и замкнутые множества.

Пусть Е- нормированное пространство.

Определение 1. Множество называется открытым,если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую ее окрестность. Иначе, М открыто, если для любого x0ϵM найдется r>0 такое,что Sr(x0) M.[pic 467][pic 468]

Пустое множество ᴓ считается открытым множеством в Е по определению.

Упражнение 1. Докажите, что

Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество;
Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество;
Все пространство Е – открытое множество.

Упражнение 2. Докажите, что

Открытый шар Sr(x0) является открытым множеством;
Шаровой слой {x:r1<||x-x0||<r2}, где r1≥0, r2 <+∞, является открытым множеством.

Опеределение 2. Точка а называется предельной точкой множества , если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отличную от а. Иначе, а- предельная точка М, если в любом шаре Sr(a) найдется xϵM, x≠a.[pic 469]

Имеет место следующее полезное предложение.

Теорема. Для того чтобы точка а была предельной точкой множества , необходима и достаточно, чтобы существовала некоторая последовательность , сходящаяся к а, xn≠a, n=1,2,…[pic 470][pic 471]

Доказательство необходимости. Пусть а – предельная точка множества М; возьмем r=1 и найдем .Затем возьмем r=1/2 и найдем . продолжая это рассуждение, найдем последовательность такую, что ||xn-a||<1/n, т.е. сходящуюся к а. [pic 472][pic 473][pic 474]

Доказательство достаточности. Пусть существует , сходящаяся к а. Это означает, что для любого r>0 существует номер N=N(r) такой, что для всех n>N.[pic 475][pic 476]

Определение 3. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пустое множество ᴓ всегда считается замкнутым.[pic 477]

Упражнение 3. Покажите, что

Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество;
Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество;
Все пространство Е – замкнутое множество.

Пример 1. Сфера является замкнутым множеством. Действительно, пусть а – предельная точка . Значит, найдутся (т.е. ||xn-x0||=r,n=1,2,…) такие, что xn→a при n→∞. По неравенству треугольника ||a-x0||≤||a-xn||+||xn-x0||=||a-xn||+r, r=||xn-x0||≤||xn-a||+||a+x0||. В пределе при n→∞ получаем ||a-x0||≤r, r≤||a-x0||. Следовательно, т.е. замкнуто.[pic 478][pic 479][pic 480][pic 481][pic 482]

Определение 4. Пусть , a M’- множество предельных точек М. Множество называется замыканием множества М.[pic 483][pic 484]

Пример 2. есть замыкание Sr(x0).[pic 485]

Упражнение 4. Покажите, что

– это наименьшее замкнутое множество, содержащее М;[pic 486]
;[pic 487]
Множество М замкнуто тогда и только тогда, когда .[pic 488]

Определение 5. Пусть ; множество E\M={xϵE: xM} называется дополнением к М.[pic 489][pic 490]

Упражнение 5. Докажите, что множество является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение Е\М замкнуто.[pic 491]

Если , то все точки из Е можно отнести по отношению к М к одному из трех типов: внутренние точки М, граничные точки М и внешние точки М. Точка x0ϵM называется внутренней точкой М, если существует ее окрестность Sr(x0). Точка M называется внешней точкой М, если существует шар Sr(x0) (ее окрестность), не содержащий точек из М (т.е. ). Точка x0ϵE называется граничной точкой М, если в любом шаре Sr(x0) есть точки, принадлежащие М, и точки, не принадлежащие М.[pic 492][pic 493][pic 494][pic 495][pic 496]

Таким образом, открытым будет множество, состоящее только из внутренних точек.

Далее, границей множества М называется множество его граничных точек. Граничная точка М может принадлежать М, а может и не принадлежать. Потому возможно, что , что или что [pic 497][pic 498][pic 499][pic 500]

Эквивалентность норм в конечномерных пространствах.

Определение. Пусть Е – линейное пространство и в Е двумя способами введены нормы: ||x||(1) и ||x||(2). Нормы ||x||(1) и ||x||(2) называются эквивалентными, если существуют числа α>0, β>0 такие, что для любых xϵE

α||x||(1)≤||x||(2)≤β||x||(10) .

Упражнение 1. Покажите, что отношение эквивалентности норм обладает следующими свойствами:

||x||~||x|| ( рефлексивность ).
Если ||x||(1)~||x||(2), то ||x||(2)~||x||(1) (симметричность).
Если ||x||(1)~||x||(2), a ||x||(2)~||x||(3), то ||x||(1)~||x||(3) (транзитивность).

Здесь значок ~ означает эквивалентность норм. Заметим, что в упражнении 2 п. 2.4. устанавливается эквивалентность в Rm норм

[pic 501]

Очевидно, две нормы в линейном пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда каждая из них подчинена другой (см. п. 2.9).

Упражнение 2. Пусть в линейном пространстве Е заданы две эквивалентные нормы, и пусть Е1 и Е2 – соответствующие нормированные пространства. Докажите, что всякая последовательность, сходящаяся в одном из этих пространств, сходится также и в другом, причем к тому же пределу. Воспользуйтесь схемой п. 2.4.

Теорема. Во всяком конечномерным линейном пространстве все нормы эквивалентны.

Доказательство. Фиксируем в m- мерном линейном пространстве Е базис {ek}1m, и пусть - разложение произвольного элемента xϵE по этому базису. Введем в Е норму: . С этой нормой Е можно отождествить с эвклидовым пространством Em.[pic 502][pic 503]

Пусть ||x|| - еще одна произвольная норма в Е. Прежде всего, имеем оценку

[pic 504][pic 505]

Следовательно, ||x|| подчинена ||x||c. Покажем, что ||x||c также подчинена ||x||. Для этого рассмотрим функцию ||x|| на сфере ||x||c=1.

Из неравенства (1) п. 2.1 и полученной оценки ||x|| ≤ β||x||c имеем

| ||x’||-||x’’|| | ≤ ||x’-x’’|| ≤ β||x’-x’’||c .

Отсюда вытекает непрерывность функции ||x|| в Em.

Далее, сфера ||x||c=1 является в Em замкнутым (пример п. 3.1 ) и ограниченным множеством. Воспользуемся теперь следующей теоремой: функция, непрерывная на замкнутом ограниченным множестве в Em, ограничена а нем и достигает на нем своих точной верхней и нижней граней (см. [18] ). Согласно этой теореме найдется x0 такое, что . Очевидно, что , ибо . Отсюда[pic 506][pic 507][pic 508]

[pic 509]

Итак, ||x|| эквивалентна ||x||c. Все нормы в Е эквивалентны норме сферической, а значит, согласно упражнению 1 все они эквивалентны. Теорема доказана.

Семинар

Рассмотрим множество Cα[a,b], αϵ(0,1], всех непрерывных на [a,b] функций, для которых выполняется условие Гельдера

[pic 510]

Покажите, что Cα[a,b] будет нормированным пространством,если в нем норму задать так:

[pic 511]

Введем в Rm «норму» для 0˂p˂1 :

[pic 512]

Будет ли шар Sr(x0) выпуклым множеством? Какие аксиомы нормы выполняются?

Сходятся ли в C[0,1] последовательности {tn-tn+1}, {tn –t2n}?
Сходится ли последовательность

в C[0,1]; в C1[0,1]?[pic 513]

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму функционалы

[pic 514]

[pic 515]

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций в качестве нормы использовать функционалы

[pic 516]

[pic 517]

Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается знак равенства в неравенствах Гельдера (p>1): а) для конечных сумм, б) для рядов, в) для интегралов.
Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается знак равенства в неравенствах Минковского (p>1).

[pic 518]

3.7. Средние и срезывающие функции и их некоторые приложения. На (-,) рассмотрим функцию [pic 519][pic 520]

-1/(1-t2) при |t|<1,[pic 521]

при |t|, [pic 522]

где c=-1/(1-s2) ds. [pic 523]

Упражнение 1. Докажите, что бесконечно дифференцируема на (-,). [pic 524][pic 525][pic 526]

Кроме того, очевидно, что четная, неотрицательная и d=1.[pic 527][pic 528][pic 529]

Введем теперь функцию h(t)=1/h которую далее будем называть ядром усреднения (радиуса h>0); h(t) также четная, неотрицательная, бесконечно дифференцируемая на (-,), d=1. Кроме того, h(t)=0, если |t|h. [pic 530][pic 531][pic 532][pic 533][pic 534][pic 535][pic 536][pic 537][pic 538]

Определим для каждой непрерывной на [a,b] функции х среднюю функцию h(t) следующим образом (рис.3):[pic 539][pic 540]

h(t)= t (-,).[pic 541][pic 542][pic 543][pic 544][pic 545]

Упражнение 2. Пользуясь свойствами ядра усреднения h(t) и теоремой о дифференцировании интеграла по параметру (см.[18]), докажите, что средние функции h(t) обладают следующими свойствами:[pic 546][pic 547]

h(t) вне [a-h, b+h];[pic 548][pic 549]
h(t) бесконечно дифференцируемы на (-,).[pic 550][pic 551][pic 552]

[pic 553]

Введем теперь срезывающую функцию (t) (рис. 4):[pic 554]

(t)= [pic 555][pic 556]

Упражнение 3. Срезывающая функция (t) обладает следующими свойствами: [pic 557][pic 558]

(t)=0 вне [a,b]\2;[pic 559][pic 560]
(t)= 1 [a,b];[pic 561][pic 562]
(t)1;[pic 563][pic 564]
(t) бесконечно дифференцируема на (-,). [pic 565][pic 566][pic 567]
. Функция (t), определенная на [a,b], называется финитной, если найдется [a’,b’], a<a’, b’<b, вне которого (t). [pic 568][pic 569][pic 570][pic 571]
функция (t) , где < , дает возможностть срезать лубую функция (t), заданную [a,b]: функция (t) является финитной. Приведем здесь два предложения о плотных линейных многообразиях. [pic 572][pic 573][pic 574][pic 575][pic 576][pic 577]

Теорема 1. Линейное многообразие непрерывных и финитных на [a,b] функции плотно в р[a,b]. [pic 578]

Доказательство. Пусть <. Имеем для любой непрерывной на [a,b] функции (t)[pic 579][pic 580][pic 581]

|x(t)-(t) |=(1-(t))[pic 582][pic 583][pic 584][pic 585]

Но 1-(t) =0 на [a+] и 1-(t) вне этого отрезка, поэтому [pic 586][pic 587][pic 588][pic 589]

(t)(t)|pdt (t)|pdt+ pdt2Mp, где М= ||x||C[a,b]. [pic 590][pic 591][pic 592][pic 593][pic 594][pic 595]

Теорема 2. В нормированном пространстве финитных и непререывных на [a,b] функций с нормой ||x||C[a,b] плотно линейное многообразие финитных, бесконечно дифференцируемых на [a,b] функций.[pic 596]

Доказательство. Пусть (t)| непрерывна на [a,b] и финитна, т.е. =0 вне некоторого [a’,b’] a<a’<b’<b.пусть h>0 и h<min (a’-a,b-b’). Рассмотрим среднюю функцию h(t) для (t). Согласно упражнению 2 функция h(t)бесконечно дифференцируема и вне [a,b] h(t).[pic 597][pic 598][pic 599][pic 600][pic 601][pic 602][pic 603]

Далее, поскольку h(|t-s|) при |t-s|, а h(|t-s|)ds=1, то имеем следующую оценку[pic 604][pic 605][pic 606][pic 607]

|x(t)-xh(t)|= h(|t-s|)x(s)ds - h(|t-s|) ds *x(t) ||x(s)-x(t). h(|t-s|) ds= |x(s)-x(t).[pic 608][pic 609][pic 610][pic 611][pic 612]

Вследствие равномерной непрерывности функции x(t) на [a,b] (см. [18]) |x(t)-xh(t)|С[a,b] при h]. Таким образом, теорема 2 доказана. [pic 613][pic 614]

3.8. Изометричные нормированные пространства.

Определение. Два нормированных пространства Е и называются линейно геометричными, если существуетфункция x=J(x) , осуществляющая изоморфизм Е и как линейных И представляет собою в этом виде частный случай неравенства Минковского.[pic 615][pic 616]

Ортогональность элементов x= и y= имеет вид[pic 617][pic 618]

[pic 619]

Пример 2. Пространство .[pic 620]

В линейном пространстве вещественных последовательностей x= , y= таких, что введем скалярное произведение по формуле[pic 621][pic 622][pic 623][pic 624]

(x,y)=.[pic 625]

Упражнение 2. Докажите, что ряд сходится и что выполнены аксиомы скалярное произведения.[pic 626]

Упражнение 3. Напишите в неравенство Коши-Буняковского. Как выглядит в условие ортогональности элементов x и y?[pic 627][pic 628]

Пример 3. Пространство [a,b].[pic 629]

В линейном пространстве комплекснозначных, непрерывных на [a,b] функций скалярное произведение зададим так:

(x,y)= dt.[pic 630]

Упражнение 4. Проверьте аксиомы нормы, запишите неравенство Коши-Буняковского, выпишите условие ортогональности элементов.

4.5. Пространство кусочно непрерывных функций Q[a,b].

Расмотрим линейное пространство комплекснозначных функций, непрерывных на [a,b], за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (для каждой функции иогут быть свои точки разрыва). Введем скалярное произведение обычным способом:

(x,y)= dt.[pic 631]

Упражнение. Проверить аксиомы 2)-4) скалярного произведения.

Трудности возникают с аксиомой 1). Если функция x(t)=0, хотя x(t)0. Для того чтобы выйти из этого противоречия и удовлетворить аксиоме 1), условимся считать две функции равными, если они отличаются друг от друга не более чем в конечном числе точек. Полученное пространство со скалярным произведением обозначается Q[a,b]. Его элементами являются не отдельные функции, а классы функций. Две функции попадают в один класс, если они равны на [a,b], за исключением конечного числа точек.[pic 632]

4.6. Процесс ортогонализации Шмидта. Будем рассматривать системы, состоящие из бесконечного числа жлементов пространства Е (со скалярным произведением), - или, короче, {}. Систему {} будем называть линейно независимой, если при любом n=1,2… система лиейно не зависима.[pic 633][pic 634][pic 635][pic 636]

Систему {} будем называть ортогональной если все 0 и ()=0, если k. Систему {}будем называть ортонормированной, если {}=; k,l=1,2,…[pic 637][pic 638][pic 639][pic 640][pic 641][pic 642][pic 643]

Оказывается, по любой линейно независимой системе{} можно построить ортогональную систему {}, а также ортонормированную систему {} с помощью следующего процесса ортогонализации Шмида.[pic 644][pic 645][pic 646]

Положим и заметим, что, так как система из одного жлемента линейно независима, как часть {}. Далее, ищем в виде =- где скаляр подберем так, чтобы было . Отсюда 0=-, ), т.е. =()/(). Итак, найдено, причем (проверьте!).[pic 647][pic 648][pic 649][pic 650][pic 651][pic 652][pic 653][pic 654][pic 655][pic 656][pic 657][pic 658][pic 659][pic 660][pic 661][pic 662][pic 663][pic 664]

Далее рассуждаем согласно методу полной математической индукции. Пусть , ... , уже построены; ищем в виде[pic 665][pic 666][pic 667]

[pic 668]

Упражнение 1. Показать, что тригонометрическая система 1, cost, sint,…,cos nt,sin nt, … ортогональна в Q[-,]. Какой будет соответствующая ортонормированная система?[pic 669][pic 670]

Рассмотрим теперь процесс ортогонализации в одном конкретом случае. В пространстве [-1,1] рассмотрим систему элементов , где (t)= , т.е. систему 1, ,…В результате процесса ее ортогонализации приходим к ортогональной системе .[pic 671][pic 672][pic 673][pic 674][pic 675][pic 676][pic 677]

Упражнение 2. Покажите, что

, .[pic 678][pic 679]

Многочлены (t), k=1,2,…, были введены в математическую практику Лежандром.Обычно используется ортогональная система из функций[pic 680]

(t)=[([pic 681][pic 682][pic 683]

Которые называются многочленами Лежандра.Многочлен (t) отличается от многочлена (t) лишь числовым множителем.Многочлены Лежандра возникают в ряда задач математической физики.Подробнее о многочленах Лежандра смотрите в [18] и [35].[pic 684][pic 685]

Заметим в заключение,что процесс ортогонализации при его реализации на ЭВМ обычно оказывается численно неустойчивым.

В частности, так обстоит дело с ортогонализацией системы по общему алгоритму. Это обстоятельство существенно ограничивает возможности практического применения метода ортогонализации (см [1]).[pic 686]

4.7 Два свойства скаялрного произведения. Непрерывность скалярного произведения. Пусть [pic 687][pic 688]

Доказательство. ([pic 689]

По неравенству Қоши – Бяняковского имеем

|([pic 690]

Так как ограничена (почему?).[pic 691]

Равенство параллелограмма. Во всяком простаравнстве со скалярным произведением справедливо следующее равенство, [pic 692]

которое можно трактовать как известное в геометрии (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон):

||x+y|+||x-y|=2(||x|[pic 693][pic 694][pic 695]

Действительно,

||x+y|+||x-y|2(||x|[pic 696][pic 697][pic 698]

Заметим, что в норированных пространствах равенство параллелограмма, вообще говоря, не имеет места.

СЕМИНАР

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектора x и y лежат на одной прямой (т.е линейно зависимы) тогда и только тогда, когда

(x,x)(y,y)= |(x,y) [pic 699]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектора x и y лежат на одном луче (или x = 0, или y = при некотором ) тогда и только тогда, когда[pic 700][pic 701]

||x||+||y||=||x+y||

Доказать, что в евклидовом пространстве два вектора x и y ортогональны тогда и только тогда, когда

||x|+||y|=||x+y|[pic 702][pic 703][pic 704]

Доказать, что в унитарном пространстве два вектора x и y ортогональны тогда и только тогда, когда

|| x||| y|=|| x+ y| для любых комплексных чисел [pic 705][pic 706][pic 707][pic 708][pic 709][pic 710][pic 711][pic 712][pic 713]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеет место тождество Аполлония

||z-x|[pic 714]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых четырех векторов справедливо неравенство Птолемeия

||x-z||||y-t||[pic 715]

Когда реализуется равенство?

В линейном пространстве непрерывных на ( функций таких, что интеграл [pic 716]

[pic 717]

сходится, введем скалярное произведение ( интеграл понимаем как несобственный)

(x,y)=[pic 718][pic 719]

Доказать, что выполнены аксиомы скалярно произведения.

В пространстве со скалярным произведением задачи 7 рассмотрим систему 1,t, … В результате ее ортоганализации по Шмидту получается ортономированнная система многочленов Чебышева – Эрмита. Вычислить три ее первых многочлена.[pic 720]
В линейном пространстве непрерывных на [0,+ функций x(t) таких, что интеграл[pic 721]

[pic 722]

сходится, скалярное произведение введем так:

[pic 723]

Проверить аксиомы скалярного произведения.

В пространстве со скалярным произведением задачи 9 процесс ортогонализации системы 1,t, приводит к системе многочлено Чебышева – Лаггера. Вычислить три первых многочлена этой системы.[pic 724][pic 725]

3.7. Средние и срезывающие функции и их некоторые приложения. На (-,) рассмотрим функцию [pic 726][pic 727]

-1/(1-t2) при |t|<1,[pic 728]

при |t|, [pic 729]

где c=-1/(1-s2) ds. [pic 730]

Упражнение 1. Докажите, что бесконечно дифференцируема на (-,). [pic 731][pic 732][pic 733]

Кроме того, очевидно, что четная, неотрицательная и d=1.[pic 734][pic 735][pic 736]

Введем теперь функцию h(t)=1/h которую далее будем называть ядром усреднения (радиуса h>0); h(t) также четная, неотрицательная, бесконечно дифференцируемая на (-,), d=1. Кроме того, h(t)=0, если |t|h. [pic 737][pic 738][pic 739][pic 740][pic 741][pic 742][pic 743][pic 744][pic 745]

Определим для каждой непрерывной на [a,b] функции х среднюю функцию h(t) следующим образом (рис.3):[pic 746][pic 747]

h(t)= t (-,).[pic 748][pic 749][pic 750][pic 751][pic 752]

h(t) вне [a-h, b+h];[pic 755][pic 756]
h(t) бесконечно дифференцируемы на (-,).[pic 757][pic 758][pic 759]

[pic 760]

Введем теперь срезывающую функцию (t) (рис. 4):[pic 761]

(t)= [pic 762][pic 763]

Упражнение 3. Срезывающая функция (t) обладает следующими свойствами: [pic 764][pic 765]

(t)=0 вне [a,b]\2;[pic 766][pic 767]
(t)= 1 [a,b];[pic 768][pic 769]
(t)1;[pic 770][pic 771]
(t) бесконечно дифференцируема на (-,). [pic 772][pic 773][pic 774]
. Функция (t), определенная на [a,b], называется финитной, если найдется [a’,b’], a<a’, b’<b, вне которого (t). [pic 775][pic 776][pic 777][pic 778]
функция (t) , где < , дает возможностть срезать лубую функция (t), заданную [a,b]: функция (t) является финитной. Приведем здесь два предложения о плотных линейных многообразиях. [pic 779][pic 780][pic 781][pic 782][pic 783][pic 784]

Теорема 1. Линейное многообразие непрерывных и финитных на [a,b] функции плотно в р[a,b]. [pic 785]

Доказательство. Пусть <. Имеем для любой непрерывной на [a,b] функции (t)[pic 786][pic 787][pic 788]

|x(t)-(t) |=(1-(t))[pic 789][pic 790][pic 791][pic 792]

Но 1-(t) =0 на [a+] и 1-(t) вне этого отрезка, поэтому [pic 793][pic 794][pic 795][pic 796]

(t)(t)|pdt (t)|pdt+ pdt2Mp, где М= ||x||C[a,b]. [pic 797][pic 798][pic 799][pic 800][pic 801][pic 802]

Доказательство. Пусть (t)| непрерывна на [a,b] и финитна, т.е. =0 вне некоторого [a’,b’] a<a’<b’<b.пусть h>0 и h<min (a’-a,b-b’). Рассмотрим среднюю функцию h(t) для (t). Согласно упражнению 2 функция h(t)бесконечно дифференцируема и вне [a,b] h(t).[pic 804][pic 805][pic 806][pic 807][pic 808][pic 809][pic 810]

Далее, поскольку h(|t-s|) при |t-s|, а h(|t-s|)ds=1, то имеем следующую оценку[pic 811][pic 812][pic 813][pic 814]

|x(t)-xh(t)|= h(|t-s|)x(s)ds - h(|t-s|) ds *x(t) ||x(s)-x(t). h(|t-s|) ds= |x(s)-x(t).[pic 815][pic 816][pic 817][pic 818][pic 819]

Вследствие равномерной непрерывности функции x(t) на [a,b] (см. [18]) |x(t)-xh(t)|С[a,b] при h]. Таким образом, теорема 2 доказана. [pic 820][pic 821]

3.8. Изометричные нормированные пространства.

Ортогональность элементов x= и y= имеет вид[pic 824][pic 825]

[pic 826]

Пример 2. Пространство .[pic 827]

В линейном пространстве вещественных последовательностей x= , y= таких, что введем скалярное произведение по формуле[pic 828][pic 829][pic 830][pic 831]

(x,y)=.[pic 832]

Упражнение 2. Докажите, что ряд сходится и что выполнены аксиомы скалярное произведения.[pic 833]

Упражнение 3. Напишите в неравенство Коши-Буняковского. Как выглядит в условие ортогональности элементов x и y?[pic 834][pic 835]

Пример 3. Пространство [a,b].[pic 836]

В линейном пространстве комплекснозначных, непрерывных на [a,b] функций скалярное произведение зададим так:

(x,y)= dt.[pic 837]

4.5. Пространство кусочно непрерывных функций Q[a,b].

(x,y)= dt.[pic 838]

Упражнение. Проверить аксиомы 2)-4) скалярного произведения.

Систему {} будем называть ортогональной если все 0 и ()=0, если k. Систему {}будем называть ортонормированной, если {}=; k,l=1,2,…[pic 844][pic 845][pic 846][pic 847][pic 848][pic 849][pic 850]

Положим и заметим, что, так как система из одного жлемента линейно независима, как часть {}. Далее, ищем в виде =- где скаляр подберем так, чтобы было . Отсюда 0=-, ), т.е. =()/(). Итак, найдено, причем (проверьте!).[pic 854][pic 855][pic 856][pic 857][pic 858][pic 859][pic 860][pic 861][pic 862][pic 863][pic 864][pic 865][pic 866][pic 867][pic 868][pic 869][pic 870][pic 871]

Далее рассуждаем согласно методу полной математической индукции. Пусть , ... , уже построены; ищем в виде[pic 872][pic 873][pic 874]

[pic 875]

Упражнение 1. Показать, что тригонометрическая система 1, cost, sint,…,cos nt,sin nt, … ортогональна в Q[-,]. Какой будет соответствующая ортонормированная система?[pic 876][pic 877]

Рассмотрим теперь процесс ортогонализации в одном конкретом случае. В пространстве [-1,1] рассмотрим систему элементов , где (t)= , т.е. систему 1, ,…В результате процесса ее ортогонализации приходим к ортогональной системе .[pic 878][pic 879][pic 880][pic 881][pic 882][pic 883][pic 884]

Упражнение 2. Покажите, что

, .[pic 885][pic 886]

Многочлены (t), k=1,2,…, были введены в математическую практику Лежандром.Обычно используется ортогональная система из функций[pic 887]

(t)=[([pic 888][pic 889][pic 890]

4.7 Два свойства скаялрного произведения. Непрерывность скалярного произведения. Пусть [pic 894][pic 895]

Доказательство. ([pic 896]

По неравенству Қоши – Бяняковского имеем

|([pic 897]

Так как ограничена (почему?).[pic 898]

Равенство параллелограмма. Во всяком простаравнстве со скалярным произведением справедливо следующее равенство, [pic 899]

||x+y|+||x-y|=2(||x|[pic 900][pic 901][pic 902]

Действительно,

||x+y|+||x-y|2(||x|[pic 903][pic 904][pic 905]

Заметим, что в норированных пространствах равенство параллелограмма, вообще говоря, не имеет места.

СЕМИНАР

(x,x)(y,y)= |(x,y) [pic 906]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектора x и y лежат на одном луче (или x = 0, или y = при некотором ) тогда и только тогда, когда[pic 907][pic 908]

||x||+||y||=||x+y||

Доказать, что в евклидовом пространстве два вектора x и y ортогональны тогда и только тогда, когда

||x|+||y|=||x+y|[pic 909][pic 910][pic 911]

Доказать, что в унитарном пространстве два вектора x и y ортогональны тогда и только тогда, когда

|| x||| y|=|| x+ y| для любых комплексных чисел [pic 912][pic 913][pic 914][pic 915][pic 916][pic 917][pic 918][pic 919][pic 920]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеет место тождество Аполлония

||z-x|[pic 921]

Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых четырех векторов справедливо неравенство Птолемeия

||x-z||||y-t||[pic 922]

Когда реализуется равенство?

В линейном пространстве непрерывных на ( функций таких, что интеграл [pic 923]

[pic 924]

сходится, введем скалярное произведение ( интеграл понимаем как несобственный)

(x,y)=[pic 925][pic 926]

Доказать, что выполнены аксиомы скалярно произведения.

В пространстве со скалярным произведением задачи 7 рассмотрим систему 1,t, … В результате ее ортоганализации по Шмидту получается ортономированнная система многочленов Чебышева – Эрмита. Вычислить три ее первых многочлена.[pic 927]
В линейном пространстве непрерывных на [0,+ функций x(t) таких, что интеграл[pic 928]

[pic 929]

сходится, скалярное произведение введем так:

[pic 930]

Проверить аксиомы скалярного произведения.

Банаховы пространства

Представление о числовой оси как о множестве полном (на ней нет «дыр», она вся заполнена вещественными числами) выражается в математическом анализе удобнее всего с помощью известного критерия Коши, дающего необходимое и достаточное условие существования предела последовательности. Эти же идея и методика лежат в основе понятия полноты нормированного пространства. В результате глубже удается изучить вопросы анализа в нормированных пространствах. Например, лишь в полном пространстве могут быть, по существу, решены вопросы о сходимости рядов (см. п. 5.6).

Фундаментальные последовательности. Начнем со следующего важного определения. Пусть Х – нормированное пространство.

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется фундаментальной, если для любого существует номер N=N() такой, что для любых номеров n и любых натуральных p выполняется неравенство ||. [pic 933][pic 934][pic 935][pic 936][pic 937]

З а м е ч а н и е. Пусть дана и пусть существует число k, так что для любого можно найти номер N=N(), обладающий тем свойством, что для всех номеров n и все натуральных р выполняется неравенство ||; тогда {[pic 938][pic 939][pic 940][pic 941][pic 942][pic 943][pic 944]

У п р а ж н е н и е 1. Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Докажите.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть фундаментальна, тогда и {} фундаментальна.[pic 945][pic 946]

У п р а ж н е н и е 3. Пусть и {фундаментальны в Х, тогда {} фундаментальна.[pic 947][pic 948][pic 949]

У п р а ж н е н и е 4. Докажите, что если подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится к х, то и сама последовательность сходится к х.

Л е м м а. Всякая сходящаяся в Х последовательность является фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при . Это означает, что для любого найдется номер N=N() такой, что для всех номеров n[pic 950][pic 951][pic 952][pic 953][pic 954]

Выполняется неравенство || По неравенству треугольника ||[pic 955][pic 956]

т.е. {} фундаментальна. Лемма доказана.[pic 957]

Верно ли обратное? Всякая ли фундаментальная последовательность сходится? Ниже мы увидим, что не всегда. Тем не менее очень важным является случай, когда это так.

Определение банахова пространства.

О п р е д е л е н и е. Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Приведем некоторые примеры банаховых пространств.

1. Пространство Е банахово. Действительно, на вещественной числовой оси имеет место критерий Коши: для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (см. [18]). Справедливость критерия Коши в Е означает, что вся вещественная ось Е заполнена точками – вещественными числами, на ней нет «дыр», т.е. что она полна.[pic 958][pic 959]

Если бы мы органичились только рациональными числами, это было бы не так. Например, последовательность десятичных приближений к с недостатком: - фундаментальная, однако в множестве рациональных чисел она не является сходящейся (предел у нее есть и равен , но это число иррациональное). [pic 960][pic 961][pic 962]

2 Пространство также банахово, так как в тоже справедлив критерий Коши. [pic 963][pic 964][pic 965]

3. Пространство является банаховым пространством. Пусть {}. Справедлив следующий критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций: для того чтобы { сходилась в , т. е. равномерно на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна в , т. е. чтобы для любого существовал номер N=N() такой, что при всех номерах n и любых натуральных р имело место неравенство или, иначе, для всех [pic 966][pic 967][pic 968][pic 969][pic 970][pic 971][pic 972][pic 973][pic 974][pic 975][pic 976][pic 977][pic 978]

Полтона отчетливо проступает также в следующей теореме: если последовательность непрерывных на [ a,b ] функций сходится равномерно на [a,b] к некоторой функций x(t), то x(t) непрерывна на [a,b] (см. [18]).[pic 979][pic 980]

Пример неполного нормированного пространства. Покажем, что пространство не является полным.[pic 981]

Рассмотрим последовательных непрерывных на [-1,+1] функций , которая задается следующим образом: [pic 982]

[pic 983]

Полезно изобразить графически (рис.5).[pic 984]

Из графика видно, что для любых n, но тогда и, следовательно,[pic 985][pic 986]

[pic 987]

[pic 988]

при n.[pic 989]

Итак, фундаментальна в смысле сходимости в среднем. [pic 990]

Заметим теперь, что в каждой точке при n последовательность имеет предел: [pic 991][pic 992][pic 993]

[pic 994][pic 995]

При этом и , Но тогда, как и выше, [pic 996][pic 997]

n.[pic 998][pic 999]

Итак, при n в среднем на [-1,+1], причем x(t) разрывная на [-1,+1] функция, т. е. x(t)∉ так как это нормированное [pic 1000][pic 1001][pic 1002]

пространство состоит из функции, непрерывных на . Может ли все же сходиться в среднем к некоторой непрерывный функции? Ответ здесь отрицательный. Действительно, наши рассуждения с мы могли проводить в пространстве Q[-1,+1] только к классу, содержащему x(t). Изменение x(t) в конечном числе точек не может привести к непрерывной на функции, и, таким образом, не может сходиться и в , как части Q[-1,+1}, к непрерывной функции. Таким образом, не сходиться в и потому это пространство не является полным. Разумеется, небольшое изменение нашего примера позволит доказать, что все пространство не являются банаховыми.[pic 1012][pic 1003][pic 1004][pic 1005][pic 1006][pic 1007][pic 1008][pic 1009][pic 1010][pic 1011]

1. Е сепарабельно, так как совокупность рациональных чисел образует счетное (рациональные числа можно занумеровать в последовательность), плотное в Е множество (в любой окрестности вещественного числа найдется рациональное число).[pic 1013]

2. Любое конечномерное пространство сепарабельно. Достаточно фиксировать в нем базис и рассмотреть множество элементов с рациональными координатами. [pic 1014]

3. С [a, b] сепарабельно, так в нем плотно множество многочленов с рациональными коэффициентами.[pic 1015]

Можно показать также, что пространства ) и ) сепарабельны, а пространство m ограниченных последовательностей несепарабельно (см. [21]).[pic 1016][pic 1017]

П р е д л о ж е н и е 1. Банахово пространство со счетным базисом сепарабельно.

Для доказательства достаточно заметить, что множество всевозможных линейных комбинаций где – рациональное, n – любое натуральное число, а {} – базис в Х, образует счетное, плотное в Х множество.[pic 1018][pic 1019][pic 1020]

П р е д л о ж е н и е 2. Всякое бесконечное множество М в сепарабельном пространстве сепарабельно.

Сепарабельность множества М понимается так: в М существует не более чем счетное множество, замыкание которого в пространстве Х содержит М.

СЕМИНАР

Докажите предложение 2.

В банаховом пространстве справедлив следующий аналог известного принципа вложенных отрезков (см.[18]).

Т е о р е м а 1. Пусть в банаховом пространстве Х дана последовательность шаров вложенных друг в друга (причем при . Тогда в Х существует единственная точка х, принадлежащая всем шарам. [pic 1021][pic 1022][pic 1023][pic 1024]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность центров шаров. Так как … лежат в шаре , то ||, . Поэтому – фундаментальная. Так как Х полно, то при n. При этом и, значит, х к=1, 2, … Если - еще одна точка, принадлежащая всем шарам , то [pic 1025][pic 1026][pic 1027][pic 1028][pic 1029][pic 1030][pic 1031][pic 1032][pic 1033][pic 1034][pic 1035][pic 1036]

||[pic 1037]

Отсюда х=х’, и теорема доказана.

У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что нормированное пространство Х полно и только тогда, когда любая последователь

З а д а ч а. Покажите, что , p ≥ 1, не является полным.[pic 1038]

Банахово пространство C () и нормированное пространство (). Пусть G – ограниченная область в , т. е. ограниченное, открытое, связное множество. Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой l G, т. е. если для любых точек G найдётся непрерывная на[0,1] функция x(t) со значениями в G такая, что x(0)=, x(1)= (см. [18]).[pic 1039][pic 1040][pic 1041][pic 1042][pic 1043][pic 1044][pic 1045][pic 1046][pic 1047]

Рассмотрим замкнутую область G - замыкание области G. Ниже будут введены два пространства функций m переменных, непрерывных на G.

Пусть C() ̶ линейное пространство всех непрерывных на функций u(x), x∊ G, с числовыми значениями и с нормой[pic 1048][pic 1049]

= max|u(x)|.[pic 1050]

x∊[pic 1051]

С () является нормированным пространством, естественным обобщением пространства С[ a,b ]. Пространство непрерывных функций С() является банаховым пространством вследствие справедливости на критерия Коши равномерной сходимости.[pic 1052][pic 1053][pic 1054]

Теперь введем нормированное пространство (), p≥1. Предположим дополнительно, что область G кубируема, т. е. определён m- кратный интеграл Римана по . В линейном пространстве функций, непрерывных на , введём норму так[pic 1055][pic 1056][pic 1057][pic 1058]

=.[pic 1059][pic 1060]

У п р а ж н е н и е. Проверьте аксиомы нормы. Воспользуйтесь обобщением неравенства Минковского для кратных интегралов.

Полученное нормированное пространство обозначается (). Оно не является полным (см. п. 5.3).[pic 1061][pic 1062]

Банаховы пространства

З а м е ч а н и е. Пусть дана и пусть существует число k, так что для любого можно найти номер N=N(), обладающий тем свойством, что для всех номеров n и все натуральных р выполняется неравенство ||; тогда {[pic 1068][pic 1069][pic 1070][pic 1071][pic 1072][pic 1073][pic 1074]

У п р а ж н е н и е 1. Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Докажите.

У п р а ж н е н и е 2. Пусть фундаментальна, тогда и {} фундаментальна.[pic 1075][pic 1076]

У п р а ж н е н и е 3. Пусть и {фундаментальны в Х, тогда {} фундаментальна.[pic 1077][pic 1078][pic 1079]

Л е м м а. Всякая сходящаяся в Х последовательность является фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при . Это означает, что для любого найдется номер N=N() такой, что для всех номеров n[pic 1080][pic 1081][pic 1082][pic 1083][pic 1084]

Выполняется неравенство || По неравенству треугольника ||[pic 1085][pic 1086]

т.е. {} фундаментальна. Лемма доказана.[pic 1087]

Определение банахова пространства.

Приведем некоторые примеры банаховых пространств.

2 Пространство также банахово, так как в тоже справедлив критерий Коши. [pic 1093][pic 1094][pic 1095]

3. Пространство является банаховым пространством. Пусть {}. Справедлив следующий критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций: для того чтобы { сходилась в , т. е. равномерно на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна в , т. е. чтобы для любого существовал номер N=N() такой, что при всех номерах n и любых натуральных р имело место неравенство или, иначе, для всех [pic 1096][pic 1097][pic 1098][pic 1099][pic 1100][pic 1101][pic 1102][pic 1103][pic 1104][pic 1105][pic 1106][pic 1107][pic 1108]

Пример неполного нормированного пространства. Покажем, что пространство не является полным.[pic 1111]

Рассмотрим последовательных непрерывных на [-1,+1] функций , которая задается следующим образом: [pic 1112]

[pic 1113]

Полезно изобразить графически (рис.5).[pic 1114]

Из графика видно, что для любых n, но тогда и, следовательно,[pic 1115][pic 1116]

[pic 1117]

[pic 1118]

при n.[pic 1119]

Итак, фундаментальна в смысле сходимости в среднем. [pic 1120]

Заметим теперь, что в каждой точке при n последовательность имеет предел: [pic 1121][pic 1122][pic 1123]

[pic 1124][pic 1125]

При этом и , Но тогда, как и выше, [pic 1126][pic 1127]

n.[pic 1128][pic 1129]

Итак, при n в среднем на [-1,+1], причем x(t) разрывная на [-1,+1] функция, т. е. x(t)∉ так как это нормированное [pic 1130][pic 1131][pic 1132]

пространство состоит из функции, непрерывных на . Может ли все же сходиться в среднем к некоторой непрерывный функции? Ответ здесь отрицательный. Действительно, наши рассуждения с мы могли проводить в пространстве Q[-1,+1] только к классу, содержащему x(t). Изменение x(t) в конечном числе точек не может привести к непрерывной на функции, и, таким образом, не может сходиться и в , как части Q[-1,+1}, к непрерывной функции. Таким образом, не сходиться в и потому это пространство не является полным. Разумеется, небольшое изменение нашего примера позволит доказать, что все пространство не являются банаховыми.[pic 1142][pic 1133][pic 1134][pic 1135][pic 1136][pic 1137][pic 1138][pic 1139][pic 1140][pic 1141]

2. Любое конечномерное пространство сепарабельно. Достаточно фиксировать в нем базис и рассмотреть множество элементов с рациональными координатами. [pic 1144]

3. С [a, b] сепарабельно, так в нем плотно множество многочленов с рациональными коэффициентами.[pic 1145]

Можно показать также, что пространства ) и ) сепарабельны, а пространство m ограниченных последовательностей несепарабельно (см. [21]).[pic 1146][pic 1147]

П р е д л о ж е н и е 1. Банахово пространство со счетным базисом сепарабельно.

П р е д л о ж е н и е 2. Всякое бесконечное множество М в сепарабельном пространстве сепарабельно.

СЕМИНАР

Докажите предложение 2.

В банаховом пространстве справедлив следующий аналог известного принципа вложенных отрезков (см.[18]).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность центров шаров. Так как … лежат в шаре , то ||, . Поэтому – фундаментальная. Так как Х полно, то при n. При этом и, значит, х к=1, 2, … Если - еще одна точка, принадлежащая всем шарам , то [pic 1155][pic 1156][pic 1157][pic 1158][pic 1159][pic 1160][pic 1161][pic 1162][pic 1163][pic 1164][pic 1165][pic 1166]

||[pic 1167]

Отсюда х=х’, и теорема доказана.

З а д а ч а. Покажите, что , p ≥ 1, не является полным.[pic 1168]

Банахово пространство C () и нормированное пространство (). Пусть G – ограниченная область в , т. е. ограниченное, открытое, связное множество. Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой l G, т. е. если для любых точек G найдётся непрерывная на[0,1] функция x(t) со значениями в G такая, что x(0)=, x(1)= (см. [18]).[pic 1169][pic 1170][pic 1171][pic 1172][pic 1173][pic 1174][pic 1175][pic 1176][pic 1177]

Пусть C() ̶ линейное пространство всех непрерывных на функций u(x), x∊ G, с числовыми значениями и с нормой[pic 1178][pic 1179]

= max|u(x)|.[pic 1180]

x∊[pic 1181]

=.[pic 1189][pic 1190]

Полученное нормированное пространство обозначается (). Оно не является полным (см. п. 5.3).[pic 1191][pic 1192]

Критерий Коши сходимости ряда.

Теорема 1. Пусть Х нормированное пространство. Для того чтобы ряд сходился, необходимо, а если Х банахово, то и достаточно, чтобы для любого нашелся номер N такой, что при всех n и при всех натуральных p выполнялось неравенство[pic 1193][pic 1194][pic 1195]

[pic 1196]

Доказательство следует из определения сходимости ряда и связи между понятиями сходящейся и фундаментальной последовательностей в применении к последовательности частичных сумм.

Упражнение 2. Докажите, что если ряд сходится, то при k .[pic 1197][pic 1198][pic 1199]

Определение 2. Если сходится числовой ряд то говорят, что ряд сходится абсолютно.[pic 1200][pic 1201]

Упражнение 3. Покажите, что ряд сходится абсолютно, если сходится абсолютно в Х ряды и [pic 1202][pic 1203][pic 1204]

Теорема 2. Пусть Х- банахово пространство. Тогда всякий абсолютно сходящийся в Х ряд сходится.

Доказательство. . Отсюда следует по теореме 1 сходимость ряда. В дальнейшем теорему 2 будем называть теоремой Вейерштрасса. Оказывается, верно и обратное утверждение.[pic 1205]

Теорема 3. Если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то Х банахово.

Доказательство. Пусть фундаментальна. Покажем, что она сходится к некоторому xX. Так как фундаментальна, то из нее можно выбрать под последовательность так, чтобы < ½ и для всех k. Составим ряд[pic 1206][pic 1207][pic 1208][pic 1209][pic 1210][pic 1211][pic 1212]

+…[pic 1213]

Этот ряд сходится абсолютно, ибо мажорируется сходящимся рядом . Но когда существует элемент xX , к которому сходится последовательность его частичных сумм . Легко проверить, что . Значит, . Поучилось, что под последовательность фундаментальной последовательности сходится к х. Но, тогда по упражнению 4, п. 5.1, и сама . сходится к х. Теорема доказана.[pic 1214][pic 1215][pic 1216][pic 1217][pic 1218][pic 1219]

5.7. Банаховы пространства со счетным базисом и сепарабельные пространства. Пусть Х- бесконечномерное банахово пространство. Последовательность называется базисом в Х, если любой элемент xX может быть однозначно представлен в виде сходящегося ряда[pic 1220][pic 1221]

X=[pic 1222]

При этом скаляры ,, … называются координатами элемента х в базисе . Из однозначности представления (разложения) х по базису вытекает линейная независимость всякого конечного набора векторов базиса. Таким образом, понятие базиса в бесконечномерном пространстве является естественным обобщением этого же понятия в конечномерном случае.[pic 1223][pic 1224][pic 1225]

Банаховыми пространствами со счетным базисом являются многие пространства. Например (см. 21), таковым является пространство С[a,b] . Ограничимся здесь одним примером.

В пространстве рассмотрим элементы = где - символ Кронекера ( при ℓ=к, при ℓ≠к). Покажем, что - базис в . Всякий элемент [pic 1226][pic 1227][pic 1228][pic 1229][pic 1230][pic 1231][pic 1232][pic 1233][pic 1234]

Х= ( )[pic 1235][pic 1236][pic 1237]

можно представить в виде (1). Это следует из того, что ряд (1) сходится к х, ибо = при n , как остаток сходящегося ряда .[pic 1238][pic 1239][pic 1240][pic 1241]

Единственность представления вытекает из равенства

===[pic 1242][pic 1243][pic 1244][pic 1245]

Переходим к рассмотрению сепарабельных пространств.

Определение. Нормированное пространство Х называется сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в Х множество.

Приведем примеры сепарабельных пространств.

ность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Определение 1. Множество М в нормированном пранстранстве Х называется нигде не плотным в Х, если в каждом шаре SX содержится другой шар , не содержащий точек М.[pic 1246][pic 1247]

Упражнение 2. Покажите что в определении 1 можно взять замкнутые шары и .[pic 1248][pic 1249]

Определение 2. Множество в нормированном пространсве называется множеством I категории, если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если М нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то М называется множеством II категории.

Упрожнение 3. Покажите, что нигде не плотное в Х множество является множеством I категории.

Упражнение 4, Покажите, что в любая плоскость – нигде не плотное множество, а множество всех точек с рациональными координатами есть множество I категории, плотное в .[pic 1250][pic 1251][pic 1252]

Теорема 2 (Бэр – Хаусдроф ). Всякое банахово пространство является множеством II категории.

Доказательство. Допустим противное, что банахово пространство Х представимо в виде

[pic 1253]

где каждое нигде не плотно в Х. Возьмем какой-либо шар . Так как нигде не плотно, то существует шар , в котором нет точек . Можно считать, что . Тогда нигде не плотно; поэтому в содержится шар , не содержащий точек из , так что . Продалжая эти рассуждения, мы получим последовательность , вложенных друг в друга шаров с .[pic 1254][pic 1255][pic 1256][pic 1257][pic 1258][pic 1259][pic 1260][pic 1261][pic 1262][pic 1263][pic 1264][pic 1265][pic 1266]

В силу теоремы 1 о вложенных шарах существует точка , принадлежащая всем шарам. Но , ибо , в котором нет точек . Это верно прт k=1,2,… Значит, , но и Х полно. Полученное противоречие доказывает теорему.[pic 1267][pic 1268][pic 1269][pic 1270][pic 1271][pic 1272]

Упрожнение 5. Докажите, что банаховом пространстве

всякое непустое открытое множество есть множество II категории;
множество, дополнительное к множеству I категории, всегда II категории;
в функции, обладающие конечной производной хоть в одной точке, составляют множество I категории и, значит, в существует всюду недифференцируемая функция.[pic 1273][pic 1274]

Задачи.

Докажите полноту любого конечномерного нормированного пространства.
Докажите полноту пространства m.
Докажите полноту пространства сходящихся последовательностей с нормой [pic 1275]
Ряд называется безусловно сходящимся, если при любой перестановке его членов он сходится к одному и тому же элементу. Покажите, что [pic 1276]

а) абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся;

б) в конечномерном пространстве всякий безусловно сходящийся ряд является абсолютно сходящимся;

в) абсолютная сходимость эквивалента безусловной сходимости тогда и только тогда, когда банахово пространство конечномерно.

Следствие. Если m, то[pic 1277]

≤[pic 1278][pic 1279]

Действительно, по формуле (2)

=- -=[pic 1280][pic 1281][pic 1282][pic 1283][pic 1284][pic 1285]

Осталось воспользоваться формулой (1)

Упражнение 1. Доказать формулы (1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, найлучшее приближение элемента х посредствомэлов из многочлен фурье элемента х:[pic 1286]

[pic 1287]

Упражнение 2. Найти найлучшее приближение функции в метрике c помощью многочлена третьи степени. Воспользоваться многочисленами Лежандра.[pic 1288][pic 1289]

6.6. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как [pic 1290]

(1)[pic 1291][pic 1292]

Слева стоит частичная сумма числего ряда . С неотрацитательными членами, причем оценка (1) верна для любого n.[pic 1293]

Ряд с неотрацитательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. Следовательно из (1) вытекает сходимость ряда

(2)[pic 1294][pic 1295]

Это неравенство назывется неравенством Бесселя. Его справедливость доказана нами для любой ортогональной системы в любом бесконечномерном пространстве со скалярным произведением.

Из неравенства Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если (k=1,2,….), то коэффиценты Фурье хH стремятся к нулю при k. Как члены сходящего[pic 1296][pic 1297][pic 1298][pic 1299]

Для дроказательства заметим, что теперь | |[pic 1300][pic 1301][pic 1302]

Пеоеходим к вопросу о сходимости ряда Фурье

Определение 1. Ортогональная система из гильбертова пространства H Из формул[pic 1303]

Имеем

- Откуда пкереходим к заключению:[pic 1304][pic 1305]

Для того чтобы была полной, необхадимо и достаточно чтобы[pic 1306]

[pic 1307][pic 1308]

Таким образом, в случае полной системы и только в этом случае неравенство бесселя превращается в равенство. Равенство это называется равенством Парсеваля-Стеклова.

Заметим что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя дополнитьдо более широкой ортогональной системы путем присоединения новых элементов.

Приведем еще один критерий полноты ортогональной системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определение.

Определение 2. Пусть в линейном пространстве Е задана конечная или бесконечная система элементов . Множество L всевозможных конечных линейных комбинаций при различных n будем называть линейной облочкой системы [pic 1309][pic 1310][pic 1311]

Упражнение. Покажите, что L – линейное многообразие в Е

Теорема. Ортогональная система из гильбертова пространства H пространства H полна в том и только в том случае когда ее линейная облочка L плотна в H[pic 1312]

Доказательство. Пусть полна. Если L H то найдется х x. Но тогда , значит, =/=0. Вследствие полноты системы х= =0 Полученное противоречие доказывает, что = H[pic 1313][pic 1314][pic 1315][pic 1316][pic 1317][pic 1318][pic 1319][pic 1320][pic 1321][pic 1322][pic 1323]

По минимальную свойству коэфицентов Фурье

[pic 1324][pic 1325]

Далее, по следствию пю 6.5 для любых nN последовательность убывает с ростом n. Следователно для любых nN[pic 1326][pic 1327][pic 1328]

6.7 Ряды Фурье в оснащенном банаховом пространстве. Пусть х-банахов пространство а-норма элемента х. Иногда наряду с нормой скалярным произведением [pic 1329][pic 1330][pic 1331]

Скалярное произведение породает в Х еще одну норму: =[pic 1332][pic 1333]

Не совпадающую , вообще говоря, с если при этом существует постоянная для любых х.[pic 1334][pic 1335][pic 1336]

Линейное многообразие. Пусть, далее, хН, но x L. Как и в п. 6.2, расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой[pic 1337][pic 1338]

.[pic 1339]

Далее, заметим, что всякое подпространство гильбертова (или банахова) пространства является замкнутым выпуклым множеством. Поэтому имеем следующее следствие из теоремы п. 6.2.

Следствие 1. Существует единственный элемент yL реализующий расстояние точки х до подпространства L: [pic 1340]

[pic 1341]

Отсюда вытекает еще один важный вывод.

Теорема. Пусть .
[pic 1342]

Тогда x-y L[pic 1343]

6.4. Ортогональные дополнения. Определение. Пусть L - линейное многообразие в H. Совокупность всех элементов из Н, ортогональных к L, называется ортогональным дополнением L и обозначается L-1.

Те о рем а 1. подпространство в H. [pic 1344]

3амечание. Если, в частности, L - подпространство в H, то - также подпространство в Н. [pic 1345]

Теорема 2. Пусть L - линейное многообразие в гильбертовом пространстве H. L плотно в H тогда и только тогда, когда ={0}[pic 1346]

Необходимость. Пусть L плотно в H, т.е. [=H. Допустим, что существует z0H z0. Пусть } L и Тогда 0 =() (y, z0) при n вследствие непрерывности скалярного произведения. Значить (y, z0) = 0 для любого . Пологая, в частности y = z0, получим (z0,z0) = 0, откуда z0 = 0. [pic 1347][pic 1348][pic 1349][pic 1350][pic 1351][pic 1352][pic 1353][pic 1354][pic 1355]

6.5. Ряды Фурье гильбертовом пространстве. Пусть бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ортогональная система {} , т.е. Ряд вида называется рядом по ортогональной (Фк). Пусть хE. Числа , k= 1, 2, … , называются коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе{} ,а ряд называется рядом Фурье (по ортогональной системе {} составленным для элемента х .Многочлен частичная суммa ряда Фурье – называется многочленом Фурье.[pic 1356][pic 1357][pic 1358][pic 1359][pic 1360][pic 1361][pic 1362][pic 1363][pic 1364]

Мы пока оставляем открытыми вопросы: сходится ли ряд Фурье элемента? Если сходиться, то х или к другому элементу?

Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы {}: , ...,. Образуем всевозможные их линейные комбинации вида . В результате мы получаем n – мерное подпространство Ln в Е. Иногда говорят, что Ln является линейной оболочкой {}: , ...,. Возьмем теперь элемент и вычислим квадрат расстояние между х и = .[pic 1365][pic 1366][pic 1367][pic 1368][pic 1369][pic 1370][pic 1371][pic 1372][pic 1373][pic 1374]

Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В вещественном случае все выкладки тоже справедливы, но несколько упрощаются. Пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем

= ( x-, x - ) = (x,x) - ,x) - ) + .[pic 1375][pic 1376][pic 1377][pic 1378][pic 1379][pic 1380]

Заметим теперь что

= ck2, ,x) = = ck2 [pic 1381][pic 1382][pic 1383][pic 1384][pic 1385]

Где k – коэффициенты Фурье элемента х. Следовательно,

= 2 , - 2 ) 2[pic 1386][pic 1387][pic 1388][pic 1389]

Далее,

2 = ( - ) = - - + 2[pic 1390][pic 1391][pic 1392][pic 1393][pic 1394][pic 1395][pic 1396][pic 1397]

и мы получаем

= 2 - 2 + 2[pic 1398][pic 1399][pic 1400][pic 1401][pic 1402]

Теперь мы можем вычислить

= = = inf [pic 1403][pic 1404][pic 1405][pic 1406]

Где зависит от т.е. от n комплексных переменных , ...,. Явная формула, полученная для показывает, что достигается при , k = 1,2, ... , n.Это свойтво коэффициентов Фурье с1, с2 …. c n называется минимальнымсвойством коэффицентов Фурье. Итак, мы следующее предложениею[pic 1407][pic 1408][pic 1409][pic 1410][pic 1411][pic 1412][pic 1413]

Теорема. Пусть ортаганальна в пространстве со скалярным произведением Е, пусть Ln—подпространство,натянутое на . Тогда dn=p(X, Ln ) хЕ, дается следующими формулами:[pic 1414][pic 1415][pic 1416]

dn=[pic 1417]

=2-22[pic 1418][pic 1419][pic 1420][pic 1421]

где Ск , k=1,2...., коэффициенты Фурье элемента х по системе [pic 1422]

Из доказанной теоремы легко выводится

Следствие.Если , то[pic 1423]

[pic 1424]

Действительно, по формуле (2)

=2-22-22=[pic 1425][pic 1426][pic 1427][pic 1428][pic 1429][pic 1430][pic 1431]

Осталось воспользоватся формулой (1)

СЕМИНАР

Упражнение. Доказать формулы(1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, наилучшее приблжение элемента х посредством элементов из Ln есть многочлен Фурье элемента х:

k[pic 1432]

Упражнение 2. Найти наилучшее приближение функции еt в метрике 2 с помощью многочлена третьей степени.Воспользоваться многочленами Лежандра.[pic 1433][pic 1434]

6.6 Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как dn2, то из формулы (2) п.6.5 имеем.[pic 1435]

222[pic 1436][pic 1437][pic 1438]

Слева стоит частичная сумма числого ряда 22 c неотрицательными членами, причем оценка (1) верна для любого n.[pic 1439][pic 1440]

последовательность его частичных сумм ограничена см. . Следовательно из (1) вытекает сходимость ряда 22 и неравенство для его суммы[pic 1441][pic 1442][pic 1443][pic 1444]

222 [pic 1445][pic 1446][pic 1447]

Это неравенство называется неравенством Бесселя. Его справедливость доказана нами для любой ортогональной системы в любомм бесконечном пространстве со скалярным произведением.

Из неравентва Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если любого элемента хстремятся к нулю при к[pic 1448][pic 1449][pic 1450][pic 1451]

Для доказательства заметим, что теперь 2 2 и 20 к как члены сходящегося ряда7[pic 1452][pic 1453][pic 1454][pic 1455][pic 1456]

Переходим к вопросу о сходимости ряда Фурье.

Определение. 1 Ортогональная система из гильбертов пространства Н называется полной, если для любого х[pic 1457][pic 1458]

=х[pic 1459]

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертов пространства (1), (2) п. 6.5 имеем

2=2-[pic 1460][pic 1461][pic 1462]

Отсюда приходим к следующему заключению:

Для того чтобы была полной необходимо и достаточно, чтобы[pic 1463]

22 =2[pic 1464][pic 1465][pic 1466]

Таким образом , в случае полной системы и только в этом случае неравенство Бесселя превращается в равенство. Равенство это называется раввенством Парсеваля-Стеклова.

Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что ее нельзя дополнить до более широкой ортогональной системы путем присоединения новых элементов.

Приведем еще один критерий ортогональной системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определение.

Определение. 2. Пусть в линейном пространстве Е задана конечная или бесконечная система элементов .Множество L всевозможных конечных линейных комбинаций при различных n будем называть линейной оболочкой системы .[pic 1467][pic 1468][pic 1469]

Упражнение. Покажите, что L- линейной многобразие в Е.

Теорема.Ортагональная система из гильбертова пространства н полна в том случае когда ее линейная облочка L плотна в Н (т.е. L=H).[pic 1470]

6.7 Ряды Фурье в оснащенном банховом пространстве.Пусть Х-банахово пространство, а -норма элемента мы приходим к банахову пространству Е, элементами которого служат классы х эквивалентных фундаментальных последовательностей . Покажем, что Е является само пространством со скалярным произведением, а значит, вследствие своей подноты, и гильбертовым пространством. Пусть х,у€ Е, а и - представители этих классов. Определим в Е скалярное произведение.[pic 1471][pic 1472][pic 1473][pic 1474]

[pic 1475]

При этом оказывается, что

[pic 1476]

Упражнение. Проверьте аксиомы скалярного произведениея в Е.

Итак, пополнение пространства со скалярным приоизведением является гильбертовым пространством.

Критерий Коши сходимости ряда.

[pic 1480]

Упражнение 2. Докажите, что если ряд сходится, то при k .[pic 1481][pic 1482][pic 1483]

Определение 2. Если сходится числовой ряд то говорят, что ряд сходится абсолютно.[pic 1484][pic 1485]

Упражнение 3. Покажите, что ряд сходится абсолютно, если сходится абсолютно в Х ряды и [pic 1486][pic 1487][pic 1488]

Теорема 2. Пусть Х- банахово пространство. Тогда всякий абсолютно сходящийся в Х ряд сходится.

Теорема 3. Если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то Х банахово.

Доказательство. Пусть фундаментальна. Покажем, что она сходится к некоторому xX. Так как фундаментальна, то из нее можно выбрать под последовательность так, чтобы < ½ и для всех k. Составим ряд[pic 1490][pic 1491][pic 1492][pic 1493][pic 1494][pic 1495][pic 1496]

+…[pic 1497]

Этот ряд сходится абсолютно, ибо мажорируется сходящимся рядом . Но когда существует элемент xX , к которому сходится последовательность его частичных сумм . Легко проверить, что . Значит, . Поучилось, что под последовательность фундаментальной последовательности сходится к х. Но, тогда по упражнению 4, п. 5.1, и сама . сходится к х. Теорема доказана.[pic 1498][pic 1499][pic 1500][pic 1501][pic 1502][pic 1503]

X=[pic 1506]

В пространстве рассмотрим элементы = где - символ Кронекера ( при ℓ=к, при ℓ≠к). Покажем, что - базис в . Всякий элемент [pic 1510][pic 1511][pic 1512][pic 1513][pic 1514][pic 1515][pic 1516][pic 1517][pic 1518]

Х= ( )[pic 1519][pic 1520][pic 1521]

можно представить в виде (1). Это следует из того, что ряд (1) сходится к х, ибо = при n , как остаток сходящегося ряда .[pic 1522][pic 1523][pic 1524][pic 1525]

Единственность представления вытекает из равенства

===[pic 1526][pic 1527][pic 1528][pic 1529]

Переходим к рассмотрению сепарабельных пространств.

Приведем примеры сепарабельных пространств.

ность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Определение 1. Множество М в нормированном пранстранстве Х называется нигде не плотным в Х, если в каждом шаре SX содержится другой шар , не содержащий точек М.[pic 1530][pic 1531]

Упражнение 2. Покажите что в определении 1 можно взять замкнутые шары и .[pic 1532][pic 1533]

Упрожнение 3. Покажите, что нигде не плотное в Х множество является множеством I категории.

Упражнение 4, Покажите, что в любая плоскость – нигде не плотное множество, а множество всех точек с рациональными координатами есть множество I категории, плотное в .[pic 1534][pic 1535][pic 1536]

Теорема 2 (Бэр – Хаусдроф ). Всякое банахово пространство является множеством II категории.

Доказательство. Допустим противное, что банахово пространство Х представимо в виде

[pic 1537]

где каждое нигде не плотно в Х. Возьмем какой-либо шар . Так как нигде не плотно, то существует шар , в котором нет точек . Можно считать, что . Тогда нигде не плотно; поэтому в содержится шар , не содержащий точек из , так что . Продалжая эти рассуждения, мы получим последовательность , вложенных друг в друга шаров с .[pic 1538][pic 1539][pic 1540][pic 1541][pic 1542][pic 1543][pic 1544][pic 1545][pic 1546][pic 1547][pic 1548][pic 1549][pic 1550]

В силу теоремы 1 о вложенных шарах существует точка , принадлежащая всем шарам. Но , ибо , в котором нет точек . Это верно прт k=1,2,… Значит, , но и Х полно. Полученное противоречие доказывает теорему.[pic 1551][pic 1552][pic 1553][pic 1554][pic 1555][pic 1556]

Упрожнение 5. Докажите, что банаховом пространстве

всякое непустое открытое множество есть множество II категории;
множество, дополнительное к множеству I категории, всегда II категории;
в функции, обладающие конечной производной хоть в одной точке, составляют множество I категории и, значит, в существует всюду недифференцируемая функция.[pic 1557][pic 1558]

Задачи.

Докажите полноту любого конечномерного нормированного пространства.
Докажите полноту пространства m.
Докажите полноту пространства сходящихся последовательностей с нормой [pic 1559]
Ряд называется безусловно сходящимся, если при любой перестановке его членов он сходится к одному и тому же элементу. Покажите, что [pic 1560]

а) абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся;

б) в конечномерном пространстве всякий безусловно сходящийся ряд является абсолютно сходящимся;

Следствие. Если m, то[pic 1561]

≤[pic 1562][pic 1563]

Действительно, по формуле (2)

=- -=[pic 1564][pic 1565][pic 1566][pic 1567][pic 1568][pic 1569]

Осталось воспользоваться формулой (1)

Упражнение 1. Доказать формулы (1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, найлучшее приближение элемента х посредствомэлов из многочлен фурье элемента х:[pic 1570]

[pic 1571]

Упражнение 2. Найти найлучшее приближение функции в метрике c помощью многочлена третьи степени. Воспользоваться многочисленами Лежандра.[pic 1572][pic 1573]

6.6. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как [pic 1574]

(1)[pic 1575][pic 1576]

Слева стоит частичная сумма числего ряда . С неотрацитательными членами, причем оценка (1) верна для любого n.[pic 1577]

(2)[pic 1578][pic 1579]

Из неравенства Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если (k=1,2,….), то коэффиценты Фурье хH стремятся к нулю при k. Как члены сходящего[pic 1580][pic 1581][pic 1582][pic 1583]

Для дроказательства заметим, что теперь | |[pic 1584][pic 1585][pic 1586]

Пеоеходим к вопросу о сходимости ряда Фурье

Определение 1. Ортогональная система из гильбертова пространства H Из формул[pic 1587]

Имеем

- Откуда пкереходим к заключению:[pic 1588][pic 1589]

Для того чтобы была полной, необхадимо и достаточно чтобы[pic 1590]

[pic 1591][pic 1592]

Упражнение. Покажите, что L – линейное многообразие в Е

Теорема. Ортогональная система из гильбертова пространства H пространства H полна в том и только в том случае когда ее линейная облочка L плотна в H[pic 1596]

Доказательство. Пусть полна. Если L H то найдется х x. Но тогда , значит, =/=0. Вследствие полноты системы х= =0 Полученное противоречие доказывает, что = H[pic 1597][pic 1598][pic 1599][pic 1600][pic 1601][pic 1602][pic 1603][pic 1604][pic 1605][pic 1606][pic 1607]

По минимальную свойству коэфицентов Фурье

[pic 1608][pic 1609]

Далее, по следствию пю 6.5 для любых nN последовательность убывает с ростом n. Следователно для любых nN[pic 1610][pic 1611][pic 1612]

6.7 Ряды Фурье в оснащенном банаховом пространстве. Пусть х-банахов пространство а-норма элемента х. Иногда наряду с нормой скалярным произведением [pic 1613][pic 1614][pic 1615]

Скалярное произведение породает в Х еще одну норму: =[pic 1616][pic 1617]

Не совпадающую , вообще говоря, с если при этом существует постоянная для любых х.[pic 1618][pic 1619][pic 1620]

Линейное многообразие. Пусть, далее, хН, но x L. Как и в п. 6.2, расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой[pic 1621][pic 1622]

.[pic 1623]

Следствие 1. Существует единственный элемент yL реализующий расстояние точки х до подпространства L: [pic 1624]

[pic 1625]

Отсюда вытекает еще один важный вывод.

Теорема. Пусть .
[pic 1626]

Тогда x-y L[pic 1627]

Те о рем а 1. подпространство в H. [pic 1628]

3амечание. Если, в частности, L - подпространство в H, то - также подпространство в Н. [pic 1629]

Теорема 2. Пусть L - линейное многообразие в гильбертовом пространстве H. L плотно в H тогда и только тогда, когда ={0}[pic 1630]

Необходимость. Пусть L плотно в H, т.е. [=H. Допустим, что существует z0H z0. Пусть } L и Тогда 0 =() (y, z0) при n вследствие непрерывности скалярного произведения. Значить (y, z0) = 0 для любого . Пологая, в частности y = z0, получим (z0,z0) = 0, откуда z0 = 0. [pic 1631][pic 1632][pic 1633][pic 1634][pic 1635][pic 1636][pic 1637][pic 1638][pic 1639]

6.5. Ряды Фурье гильбертовом пространстве. Пусть бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ортогональная система {} , т.е. Ряд вида называется рядом по ортогональной (Фк). Пусть хE. Числа , k= 1, 2, … , называются коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе{} ,а ряд называется рядом Фурье (по ортогональной системе {} составленным для элемента х .Многочлен частичная суммa ряда Фурье – называется многочленом Фурье.[pic 1640][pic 1641][pic 1642][pic 1643][pic 1644][pic 1645][pic 1646][pic 1647][pic 1648]

Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы {}: , ...,. Образуем всевозможные их линейные комбинации вида . В результате мы получаем n – мерное подпространство Ln в Е. Иногда говорят, что Ln является линейной оболочкой {}: , ...,. Возьмем теперь элемент и вычислим квадрат расстояние между х и = .[pic 1649][pic 1650][pic 1651][pic 1652][pic 1653][pic 1654][pic 1655][pic 1656][pic 1657][pic 1658]

= ( x-, x - ) = (x,x) - ,x) - ) + .[pic 1659][pic 1660][pic 1661][pic 1662][pic 1663][pic 1664]

Заметим теперь что

= ck2, ,x) = = ck2 [pic 1665][pic 1666][pic 1667][pic 1668][pic 1669]

Где k – коэффициенты Фурье элемента х. Следовательно,

= 2 , - 2 ) 2[pic 1670][pic 1671][pic 1672][pic 1673]

Далее,

2 = ( - ) = - - + 2[pic 1674][pic 1675][pic 1676][pic 1677][pic 1678][pic 1679][pic 1680][pic 1681]

и мы получаем

= 2 - 2 + 2[pic 1682][pic 1683][pic 1684][pic 1685][pic 1686]

Теперь мы можем вычислить

= = = inf [pic 1687][pic 1688][pic 1689][pic 1690]

Где зависит от т.е. от n комплексных переменных , ...,. Явная формула, полученная для показывает, что достигается при , k = 1,2, ... , n.Это свойтво коэффициентов Фурье с1, с2 …. c n называется минимальнымсвойством коэффицентов Фурье. Итак, мы следующее предложениею[pic 1691][pic 1692][pic 1693][pic 1694][pic 1695][pic 1696][pic 1697]

Теорема. Пусть ортаганальна в пространстве со скалярным произведением Е, пусть Ln—подпространство,натянутое на . Тогда dn=p(X, Ln ) хЕ, дается следующими формулами:[pic 1698][pic 1699][pic 1700]

dn=[pic 1701]

=2-22[pic 1702][pic 1703][pic 1704][pic 1705]

где Ск , k=1,2...., коэффициенты Фурье элемента х по системе [pic 1706]

Из доказанной теоремы легко выводится

Следствие.Если , то[pic 1707]

[pic 1708]

Действительно, по формуле (2)

=2-22-22=[pic 1709][pic 1710][pic 1711][pic 1712][pic 1713][pic 1714][pic 1715]

Осталось воспользоватся формулой (1)

СЕМИНАР

Упражнение. Доказать формулы(1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, наилучшее приблжение элемента х посредством элементов из Ln есть многочлен Фурье элемента х:

k[pic 1716]

Упражнение 2. Найти наилучшее приближение функции еt в метрике 2 с помощью многочлена третьей степени.Воспользоваться многочленами Лежандра.[pic 1717][pic 1718]

6.6 Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как dn2, то из формулы (2) п.6.5 имеем.[pic 1719]

222[pic 1720][pic 1721][pic 1722]

Слева стоит частичная сумма числого ряда 22 c неотрицательными членами, причем оценка (1) верна для любого n.[pic 1723][pic 1724]

последовательность его частичных сумм ограничена см. . Следовательно из (1) вытекает сходимость ряда 22 и неравенство для его суммы[pic 1725][pic 1726][pic 1727][pic 1728]

222 [pic 1729][pic 1730][pic 1731]

Из неравентва Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если любого элемента хстремятся к нулю при к[pic 1732][pic 1733][pic 1734][pic 1735]

Для доказательства заметим, что теперь 2 2 и 20 к как члены сходящегося ряда7[pic 1736][pic 1737][pic 1738][pic 1739][pic 1740]

Переходим к вопросу о сходимости ряда Фурье.

Определение. 1 Ортогональная система из гильбертов пространства Н называется полной, если для любого х[pic 1741][pic 1742]

=х[pic 1743]

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертов пространства (1), (2) п. 6.5 имеем

2=2-[pic 1744][pic 1745][pic 1746]

Отсюда приходим к следующему заключению:

Для того чтобы была полной необходимо и достаточно, чтобы[pic 1747]

22 =2[pic 1748][pic 1749][pic 1750]

Приведем еще один критерий ортогональной системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определение.

Упражнение. Покажите, что L- линейной многобразие в Е.

Теорема.Ортагональная система из гильбертова пространства н полна в том случае когда ее линейная облочка L плотна в Н (т.е. L=H).[pic 1754]

[pic 1759]

При этом оказывается, что

[pic 1760]

Упражнение. Проверьте аксиомы скалярного произведениея в Е.

Итак, пополнение пространства со скалярным приоизведением является гильбертовым пространством.

Ряды Фурье гильбертовом пространстве.

Пусть бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением дана ортогональная система {} , т.е. Ряд вида называется рядом по ортогональной (Фк). Пусть хE. Числа , k= 1, 2, … , называются коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе{} ,а ряд называется рядом Фурье (по ортогональной системе {} составленным для элемента х .Многочлен частичная суммa ряда Фурье – называется многочленом Фурье.[pic 1761][pic 1762][pic 1763][pic 1764][pic 1765][pic 1766][pic 1767][pic 1768][pic 1769]

Возьмем теперь первые n векторов ортогональной системы {}: , ...,. Образуем всевозможные их линейные комбинации вида . В результате мы получаем n – мерное подпространство Ln в Е. Иногда говорят, что Ln является линейной оболочкой {}: , ...,. Возьмем теперь элемент и вычислим квадрат расстояние между х и = .[pic 1770][pic 1771][pic 1772][pic 1773][pic 1774][pic 1775][pic 1776][pic 1777][pic 1778][pic 1779]

= ( x-, x - ) = (x,x) - ,x) - ) + .[pic 1780][pic 1781][pic 1782][pic 1783][pic 1784][pic 1785]

Заметим теперь что

= ck2, ,x) = = ck2 [pic 1786][pic 1787][pic 1788][pic 1789][pic 1790]

Где k – коэффициенты Фурье элемента х. Следовательно,

= 2 , - 2 ) 2[pic 1791][pic 1792][pic 1793][pic 1794]

Далее,

2 = ( - ) = - - + 2[pic 1795][pic 1796][pic 1797][pic 1798][pic 1799][pic 1800][pic 1801][pic 1802]

и мы получаем

= 2 - 2 + 2[pic 1803][pic 1804][pic 1805][pic 1806][pic 1807]

Теперь мы можем вычислить

= = = inf [pic 1808][pic 1809][pic 1810][pic 1811]

Где зависит от т.е. от n комплексных переменных , ...,. Явная формула, полученная для показывает, что достигается при , k = 1,2, ... , n.Это свойтво коэффициентов Фурье с1, с2 …. c n называется минимальнымсвойством коэффицентов Фурье. Итак, мы следующее предложениею[pic 1812][pic 1813][pic 1814][pic 1815][pic 1816][pic 1817][pic 1818]

Теорема. Пусть ортаганальна в пространстве со скалярным произведением Е, пусть Ln—подпространство,натянутое на . Тогда dn=p(X, Ln ) хЕ, дается следующими формулами:[pic 1819][pic 1820][pic 1821]

dn=[pic 1822]

=2-22[pic 1823][pic 1824][pic 1825][pic 1826]

где Ск , k=1,2...., коэффициенты Фурье элемента х по системе [pic 1827]

Из доказанной теоремы легко выводится

Следствие.Если , то[pic 1828]

[pic 1829]

Действительно, по формуле (2)

=2-22-22=[pic 1830][pic 1831][pic 1832][pic 1833][pic 1834][pic 1835][pic 1836]

Осталось воспользоватся формулой (1)

Упражнение. Доказать формулы(1) и (2) в случае вещественного пространства.

Итак, наилучшее приблжение элемента х посредством элементов из Ln есть многочлен Фурье элемента х:

k[pic 1837]

Упражнение 2. Найти наилучшее приближение функции еt в метрике 2 с помощью многочлена третьей степени.Воспользоваться многочленами Лежандра.[pic 1838][pic 1839]

6.6 Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы. Так как dn2, то из формулы (2) п.6.5 имеем.[pic 1840]

222[pic 1841][pic 1842][pic 1843]

Слева стоит частичная сумма числого ряда 22 c неотрицательными членами, причем оценка (1) верна для любого n.[pic 1844][pic 1845]

последовательность его частичных сумм ограничена см. . Следовательно из (1) вытекает сходимость ряда 22 и неравенство для его суммы[pic 1846][pic 1847][pic 1848][pic 1849]

222 [pic 1850][pic 1851][pic 1852]

Из неравентва Бесселя вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если любого элемента хстремятся к нулю при к[pic 1853][pic 1854][pic 1855][pic 1856]

Для доказательства заметим, что теперь 2 2 и 20 к как члены сходящегося ряда7[pic 1857][pic 1858][pic 1859][pic 1860][pic 1861]

Переходим к вопросу о сходимости ряда Фурье.

Определение. 1 Ортогональная система из гильбертов пространства Н называется полной, если для любого х[pic 1862][pic 1863]

=х[pic 1864]

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом гильбертов пространства (1), (2) п. 6.5 имеем

2=2-[pic 1865][pic 1866][pic 1867]

Отсюда приходим к следующему заключению:

Для того чтобы была полной необходимо и достаточно, чтобы[pic 1868]

22 =2[pic 1869][pic 1870][pic 1871]

Приведем еще один критерий ортогональной системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определение.

Упражнение. Покажите, что L- линейной многобразие в Е.

Теорема.Ортагональная система из гильбертова пространства н полна в том случае когда ее линейная облочка L плотна в Н (т.е. L=H).[pic 1875]

[pic 1880]

При этом оказывается, что

[pic 1881]

Упражнение. Проверьте аксиомы скалярного произведениея в Е.

Итак, пополнение пространства со скалярным приоизведением является гильбертовым пространством.

Пространство Лебега L. Определим банахово пространство L как пополнение нормированног пространства (см, п. 2,9). Напомним что элементы – это непрерывные на функции х(t) с нормой[pic 1882][pic 1883][pic 1884][pic 1885][pic 1886]

dt [pic 1887]

Пусть две последовательности непрерывных на функций. Если последовательность является бесконечно малой в , т.е, при [pic 1888][pic 1889][pic 1890][pic 1891][pic 1892]

[pic 1893]

то последовательности и будем называть эквивалентными в или эквивалентным в среднем.[pic 1894][pic 1895][pic 1896]

Далее,последовательность непрерывных на функций будем называть фундаментальной в или, короче, фундаментальной в среднем, если для любого найдется номер N такой,что для всех номеров и всех натуральных р выполняется неравенство[pic 1897][pic 1898][pic 1899][pic 1900][pic 1901]

[pic 1902]

Согласно теореме о пополнении пространство Лебега L состоит из элементовявляющихся классами эквивалентных в среднем и фундаментальных в среднем последовательностей непрерывных функций. Две фундаментальные в среднем последовательности являются представителями одного класса т огда и только тогда ,когда они эквивалентны в среднем. Если , то, по определению,[pic 1903][pic 1904][pic 1905][pic 1906][pic 1907]

(1)[pic 1908]

Подобно тому, как иррациональные числа можно трактовать как некоторые идеальные элементы, сколь угодно хорошие приближения к которым получаются с помощью рациональных чисел, так и элементы пространства L мы можем рассматривать как некоторые идеальные функций, приблизиться к которым практически всегда возможно с помощью непрерывных функций. Более того, будем называть интегралом Лебега от функций , где х(t)L, выражение (1) т.е. ,по определению,[pic 1909][pic 1910][pic 1911][pic 1912]

dt[pic 1913]

(слева-интеграл Лебега, справа-интегралы Римана)

Оказывается, что некоторые идеальные элементы (классы) пространства L можно отождествить с некоторыми конкретными , вообще говоря, разрывными функциями.[pic 1914]

Прежде всего отметим, что согласно теореме о пополнении (п. 7.1) пространство L содержит все непрерывные на функции. Понимать это нужно в следующем смысле. Рассмотрим класс, содержащий своим представителем стационарную последовательность , где непрерывна на Этот класс мы отождествляем с функцией и обозначаем также Помимо функции класс содержит разрывные функции, например, отличающиеся от функции в конечном числе точек.[pic 1915][pic 1916][pic 1917][pic 1918][pic 1919][pic 1920][pic 1921][pic 1922][pic 1923][pic 1924]

Эту идею можно развить дальше в следующем направлении: некоторые разрывные функции можно трактовать как пределы в метрике фундаментальных последовательностей непрерывных функции . Каждую такую разрывную функцию можно отождествить с некоторым классом из L. В 8 этот путь будет реализован полностью. Будет показано, что всякий элемент пространства L можно отождествить с некоторой обычной, вообще говоря, разрывной функцией (точнее, с некоторым классом таких функций). В основе этих рассуждений лежит основанная на теореме о пополнении конструкция интеграла Лебега. [pic 1925][pic 1926][pic 1927][pic 1928]

Пока же мы ограничимся следующими двумя примерами.

Пример 1. Пусть функция непрерывна на , за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода. Покажем, что тогда существует фундаментальная в среднем последовательность непрерывных на функций , сходящаяся к в среднем.[pic 1929][pic 1930][pic 1931][pic 1932][pic 1933]

Идея построения такой фундаментальной последовательности может быть позаимствована в.п. 5.3, где был приведен пример фундаментальной в в последовательности непрерывных функций, сходящейся в среднем к разрывной функции (см. ). Пусть имеет точки разрыва а, причем х, где и - пределы соответственно справа и слева,[pic 1934][pic 1935][pic 1936][pic 1937][pic 1938][pic 1939][pic 1940][pic 1941]

[pic 1942]

Окружим каждую точку разрыва окрестностью , где выбираем настолько малым ,чтобы а и сами окрестности не пересекались. Определим теперь последовательность непрерывных функций так (рис.9):[pic 1947][pic 1943][pic 1944][pic 1945][pic 1946]

Докажем, что фундаментальна в (почему sup существует?). Тогда sup[pic 1951][pic 1948][pic 1949][pic 1950]

90. 6. Если и почти всюду , где , - некоторые числа, то [pic 1952][pic 1953][pic 1954][pic 1955]

[pic 1956]

СЕМИНАР

Упражнение 3. Докажите свойства 5 и 6.

7. Если , и , то .[pic 1957][pic 1958][pic 1959][pic 1960]

Если дана функция , определенная на отрезке , то обозначим [pic 1961][pic 1962]

[pic 1963]

[pic 1964]

Упражнение 4. Докажите что

[pic 1965][pic 1966]

, .[pic 1967][pic 1968]

Упражнение 5. Докажите что

[pic 1969]

[pic 1970]

8. Если , то и [pic 1971][pic 1972][pic 1973]

9. Если и , то [pic 1974][pic 1975][pic 1976]

и [pic 1977]

Упражнение 6. Докажите свойства 8 и 9.

10. Если и существует последовательность непрерывных функций такая, что то [pic 1978][pic 1979][pic 1980][pic 1981]

Мы обратимся к доказательству свойства 10 в следующем пункте, предварительно докажем ряд важных теорем.

Свойства интеграла Лебега, связанные с предельным переходом. Напомним, что нормированное пространство, причем если то [pic 1982][pic 1983][pic 1984]

[pic 1985]

где фундаментальная в среднем последовательность непрерывных функций и Тогда естественно считать, что если класс эквивалентных функций, интегрируемых по Лебегу, соответствующий , то[pic 1986][pic 1987][pic 1988][pic 1989]

но [pic 1990]

[pic 1991]

Упражнение 1. Докажите что

, где . Таким образом, [pic 1992][pic 1993]

где . Будем также писать, что в этом случае[pic 1994][pic 1995]

[pic 1996][pic 1997]

О п р е д е л е н и е. Последовательность интегрируемых по Лебегу функций будем называть фундаментальной в среднем, если она фундаментальна по норме пространства , т. e. Если для любого найдется натуральное такое, что для любых и справедливо неравенство[pic 1998][pic 1999][pic 2000][pic 2001][pic 2002][pic 2003]

[pic 2004]

Однако пространство является полным: поэтому для любой фундаментальной последовательности найдется функция такая, что [pic 2005][pic 2006][pic 2007]

[pic 2008]

В таком случае мы будем говорить, что последовательность сходится к в среднем или по норме, и писать [pic 2009][pic 2010]

[pic 2011]

Теорема 5 (Фату).Если { где k -некоторое число,то f(t) и[pic 2012][pic 2013]

[pic 2014]

Интеграл Римана и интеграл Лебега.Ранее мы отметили (см.свойство 1 по 8.4.) что если x(t) непрерывно на [a,b] то то x(t) u[pic 2015]

[pic 2016]

Теперь мы докажем более общее утверждение .

Теорема.Если f(t) интегрируема по Риману на отрезке [a,b]
[pic 2017]

то она интегрируема и по Лебегу на этом отрезке и

СЕМИНАР

...

Скачать: txt (255.7 Kb) pdf (2.3 Mb) docx (2.7 Mb)

Продолжить читать еще 129 страниц(ы) »

Читать полный текст Сохранить

Доступно только на Essays.club