Бірдей аргументті тригонометриялық теңдеулерді шешу

Бірдей аргументті тригонометриялық теңдеулерді шешу 

Ибраимова З.Б.

М.Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан университеті , Шымкент, Қазақстан

Тригонометриялық функцияға салыстырмалы түрде рационалды тригонометриялық теңдеулерді қарастыратын боламыз. Бір аргументті тригонометриялық функцияларға салыстырмалы түрде рационалды теңдеуді мына түрге келтіруге болады:

 [pic 1]                                               (1)

мұндағы R1 және R2 – sinx, cosx, tgx және ctgx-ке салыстырмалы түрдегі бүтін рационалды функциялар. Егер tgx және ctgx функцияларын сәйкесінше [pic 2] пен [pic 3]-на алмастырсақ, онда (1) теңдеуінің түзілімі мына түрге келеді

[pic 4]                                                        (2)

мұндағы  R3 және R4 – sinx пен cosx-тің бүтін рационалды функциялары. (2) теңдеуді қарастыра отырып, егер R3(sinx,cosx)=0 (3), ал R4(sinx,cosx)≠0 болса, бөлгіш нөлге теңеледі деген қорытындыға келеміз. sinx және  cosx

функциясының көпмүшесі секілді R4(sinx,cosx)-тің шектеулі шама екендігін байқаймыз, сондықтан да барлық х мәндері үшін [pic 5]болады.

R4(sinx,cosx)=0  кезіндегі (2)  теңдеулер түбіріне не жайлы, онда (2) теңдеуі үшін олар бөтен болып, (2) теңдеуінің сол жақ бөлігі бұл кезде [pic 6] түріне ие болып, сандық мәнге ие болмайды. Осылайша, жалпы жағдайда бір аргумент функциясына салыстырмалы түрде рационалды тригонометриялық теңдеулер мына теңдеу түріне сәйкес келеді: R(sinx,cosx)=0,  (4)  мұндағы  R – sinx пен cosx-ке салыстырма түрдегі көп мүше (4) теңдеуді шешудің кейбір әдістерін қарастырайық.

1) Әдістердің бірі әмбебап тригонометриялық қойылымдар деп аталатын sinx, cosx, tgx және ctgx мәндерін [pic 7] арқылы өрнектейтін формулаларды қолданудан тұрады. Осы әдісті қолдану кезінде (1) теңдеуін (2) түріне келтірмесе де болады. [pic 8] функциясы x=π(2n+1) кезінде мәнге ие емес, мұндағы n=0; ±1; ±2; …  Сондықтан, осы әдіспен теңдеулерді шешу кезінде x=π(2n+1)  мәндерінің арасында сол теңдеу түбірінің жоқ екендігін қосымша тексеру керек. Осы әдіспен теңдеулерді шешудің бірнеше мысалдарын қарастырайық.

1-мысал .sinx-2cosx=2 теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Косинус пен синусті тангенс арқылы өрнектеп, мына түрге [pic 9] алмастыра отырып, [pic 10] аламыз. Мұнай түзілімнен соң мына теңдеуге келіп [pic 11]=2, мұнан табамыз x=2arctg2+2πn, n=0; ±1; ±2; …  Сол теңдеудегі бел гісіздің мүмкін болатын мәндері бүкіл шынайы х мәндері болады. [pic 12] функциясынан теңдеуге өту кезінде қарастырудан x=π(2n+1) мәндері түсті. Берілген теңдеуге x=π(2n+1) қоя отырып, осы мәндердің теңдеу шешімі болып табылатындығына көз жеткіземіз. Сондықтан да соңғы жауап ретінде мынаны аламыз: x=2arctg2+2πn; x=π(2n+1) мұндағы n=0; ±1; ±2; …  

2-мысал .1-sinx=cosx (sinx+cosx) теңдеуін шешу керек.

Шешуі:[pic 13] арқылы sinx пен cosx-ті алмастыра отырып, [pic 14] теңдеуін алып, түзілімнен соң тек [pic 15] ғана қамтитын теңдеуге келеміз [pic 16] Мұнда [pic 17]=0 немесе [pic 18]=1, сонда x=2πn немесе [pic 19] (n=0; ±1; ±2; … ). Берілген теңдеудің x=π(2n+1)  мәндері түбірлері болатындығын тексереміз. Осы мәнді берілген  теңдеуге қоя отырып, мыналарды табамыз: [pic 20] немесе 1-0=-1(0-1); 1=1, сонымен бірге x=π(2n+1)   мәнінде теңдеу түбірі болып табылады. Осылайша, берілген теңдеу түбірі болып x=2πn, [pic 21],  x=π(2n+1)  мұндағы n=0; ±1; ±2; …  формуласымен анықталатын мәндер табылады. Бірінші мен үшінші формулалардың бірі x=2πn формуласымен алмасуы мүмкін екендігін байқаймыз.