Кейбір тригонометриялвқ теңдеулерді

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ АТЫНДАҒЫ ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН УНИВЕРСИТЕТІ

[pic 1]

РЕФЕРАТ

Тақырыбы:Кейбір тригонометриялвқ теңдеулерді

                                             Орындаған: Серікбаева Б.

                                         Тобы: ЕП-20-11К2

                                                       Қабылдаған: Сабырханова П

Номер:42

Шымкент 2021ж

Жоспар

• Кіріспе
• Негізгі бөлім
• Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді графикалық әдісі
• Қорытынды
• Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе.

      ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУ – белгісіз аргументтің тригонометриялық функциясына қатысты алгебралық теңдеу. Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін тригонометриялық функциялардың арасындағы әр түрлі қатынастарды пайдалана отырып, тригонометриялық теңдеулерді ізделініп отырған аргументтің тригонометриялық функциялары біреуінің мәнін анықтауға болатындай түрге келтіру керек. Осыдан кейін тригонометриялық теңдеудің түбірлері кері тригонометриялық функциялардың көмегі арқылы табылады. Мысалы, sіnx+sіn2x+sіn3x=0 Тригонометриялық теңдеуі мына түрге түрлендіріледі: 2sіn2xcosx+sіn2x=0 немесе sіn2x(2cosx+1)=0, осыдан sіn2x=0 немесе , яғни бұл теңдеудің шешімі: Arcsіn0=np/2 және x=Arccos , мұндағы n – кез келген бүтін сан (оң немесе теріс сан). 

Негізгі бөлім.

1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді графикалық әдісі

 I. Бір тригонометриялық функциямен берілген алгебралық теңдеулерге келетін тригонометриялық теңдеулер.

1 мысал. 2sin2x+3sinx-2=0 теңдеуінің шешімін табайық.

Шешуі. Берілген теңдеу sіn х функциясына қатысты квадрат теңдеу болып табылады. Егер sіn х=и алмастыруын жасасак, онда 2u2 + Зu — 2 = 0 түріндегі алгебралык квадрат теңдеу аламыз, оның түбірлері и1=-2; и2 =1/2.

Сонда берілген теңдеу sіn х функциясына катысты sіn х=-2 және sіn х=1/2 түріндегі қарапайым екі теңдеуге келеді. sіnх=-2 теңдеуінің шешімі жоқ, себебі теңдіктің оң жағы |-2| > 1. sіn х=1/2,х=(-1 )п•π/6 + πп, пεz. Енді табылған шешімінің берілген теңдеуді канағаттандыратынын тексерейік. Ол үшін х= π/6 -ны берілген теңдеуге коямыз. Сонда 2sin2 π/6 + 3•sіn π/6 - 2 = 2 • (1/2)2+ 3•(1/2) - 2 =(1/2) +(3/2)-2 = 0. Табылған шешім берілген теңдеуді қанағаттандырады.

Жауабы: х= (-1 )п•π/6 + πп, пεz
2-мысал. 3 соs2х = 7 соsх теңдеуін шешейік.

Шешуі. Берілген теңдеудегі тригонометриялык функцияларды соs2х = 2соs2х — 1 формуласын пайдаланып, аргументтері бірдей тригонометриялық функцияға келтіреміз. 3(2соs2x- 1) = 7соsх немесе 6соs2 х - 7 соsх - 3 = 0.

соs х = и деп белгілеп, 6и2 — 7и - 3 = 0 теңдеуін аламыз. Сонда

и1=3/2, и2=1/3.Алынған мәнді орнына койып,

соsх = 3/2 , соsх=-1/3

түріндегі қарапайым теңдеулер.Бірінші теңдеудің шешімі жоқ,екінші теңдеудің шешімі [pic 2]=arccos(-1/3)+2πп [pic 3]=±(π-arccos1/3)+2πп, пεZ

Жауабы:[pic 4]=±(π-arccos1/3)+2πп, пεZ

3-мысал.tgх + 3ctgx= 4 теңдеуін шешейік.

Шешуі. tgx·ctgx= 1 формуласынан алынған tgx=1/ ctgx өрнегін

берілген теңдеуге коямыз. Сонда 1/ ctgx +3ctgx = 4, 3ctgx 2х - 4ctgx+1=0. Енді ctgx=и алмастыруын енгізсек, З и 2 - 4 и + 1 = 0 түріндегі алгебралық теңдеу аламыз. Бұл тендеудің түбірлері и1=1/3, и2=1.

Алынған мәндерді орнына қойсақ, ctgx =1/3 және ctgx = 1 түріндегі екі қарапайым теңдеуге келеміз. Бұл теңдеулердің шешімі сәйкесінше х = arcctg1/3+ πп, пεZ және х = arcctg1 + πп немесе х= π/4+ πп, пεZ

Жауабы: arcctg1/3+ πп, пεZ,π/4+ πп, пεZ
ІІ.Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер.