Метод Гаусса решения СЛАУ
Автор: vladdos123 • Май 28, 2025 • Лабораторная работа • 2,531 Слов (11 Страниц) • 167 Просмотры
[pic 1] | Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) |
ФАКУЛЬТЕТ «РАДИОЭЛЕКТРОНИКА И ЛАЗЕРНАЯ ТЕХНИКА» (РЛ)
КАФЕДРА «РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ И УСТРОЙСТВА» (РЛ1)
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №1
по курсу «Численные методы»
Вариант №8
Студенты группы РЛ1-82 | В.В. Егоров | |
(Подпись, дата) | ||
Н.Б. Будрин | ||
(Подпись, дата) | ||
В.И. Бучнев | ||
(Подпись, дата) | ||
Преподаватель | О.Ю. Чигирева | |
(Подпись, дата) |
СОДЕРЖАНИЕ
Практическая работа №1 3
1 Теоретическая часть 4
2 Практическая часть 8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13
Практическая работа №1
Метод Гаусса решения СЛАУ
Цель работы: изучение метода Гаусса численного решения квадратной СЛАУ с невырожденной матрицей; оценка числа обусловленности матрицы и исследование его влияния на погрешность приближенного решения.
Содержание работы:
1. Реализовать метод Гаусса решения СЛАУ (с выбором главного элемента по столбцу)
2. Провести решение двух заданных СЛАУ методом Гаусса, вычислить нормы невязок полученных приближенных решений, их абсолютные и относительные погрешности (при расчетах пользоваться 1-нормой и
inf-нормой)
3. Для каждой из систем оценить порядок числа обусловленности ее матрицы и сделать вывод о влиянии на точность полученного приближенного решения и отвечающему ему невязку.
1 Теоретическая часть
Пусть требуется решить систему линейных уравнений: 𝐴𝑥 = 𝑏, где 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ R𝑛×𝑛, 𝑏 = (𝑏𝑖) ∈ R𝑛, :[pic 2]
[pic 3]
Метод Гаусса состоит из двух частей: прямой ход (сверху вниз) и обратный ход (снизу вверх).
Прямой ход
Прямой ход метода Гаусса преобразует матрицу в левой части к треугольному виду с главной диагональю, состоящей из единиц. В результате система линейных уравнений принимает вид:
[pic 4]
Первый шаг прямого хода
Предположим, что 𝑎11 0. Исключим из всех уравнений с номерами со 2-ого по n-ое. Для этого разделим первое уравнение на 𝑎11 0 и вычтем из i-ого уравнения (, , первое, умноженное на .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
Первый шаг прямого хода метода Гаусса преобразует систему линейных уравнений следующему к виду:
[pic 12]
Новые коэффициенты вычисляются по формулам:
[pic 13]
Далее этот процесс применяется к подматрице 𝐴(1) = (𝑎(1)𝑖𝑗 ) и вектору правой части 𝑏 =(𝑏(1)𝑖).
...