Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений

Контрольная работа 1

Вариант 1

Ситуация 1

Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций

Z=x2+y2 при условии x+y=1.

Решение

Составим функцию Лагранжа
L= x2+y2+ λ(x+y-1)
Найдем стационарные точки функции Лагранжа:
∂L/∂x=2x+λ=0
∂L/∂y=2y+λ=0
∂L/∂λ=x+y-1=0
Из данной системы получим:
λ=-1; x=0,5; y=0,5
x=0,5; y=0,5 целевая функция имеет минимум Z=0,5 в этой точке.

Ситуация 2

Распределить Т=100 тыс. ден. ед. по четырем предприятиям с целью

получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в зависимости от вложенных средств заданы таблицей.

Решение

Этап I. Условная оптимизация.

1-й шаг. k = 4. Предполагаем, что все средства 100 ден.ед. переданы на инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальная прибыль составит F4(C4) = 54, см. таблицу 2.

Таблица 2

2-й шаг. k=3. Определяем оптимальную стратегию инвестирования во второе и третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид:

[pic 1]

На его основе рассчитываются данные таблицу 3.

Таблица 3

3-й шаг. k=2. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид:

[pic 2]

На его основе находятся данные таблицы 4.

Таблица 4