Построить математическую модель

Для збереження нормальної життєдіяльності людина повинна за добу споживати білків не менш 120 умовних одиниць, жирів – не менш 70 і вітамінів – не менш 10 ум. од. Вміст їх у кожній одиниці продуктів [pic 1] і [pic 2] дорівнює відповідно (0,2; 0,075; 0) і (0,1; 0,1; 0,1) ум. од. Вартість одиниці продукту [pic 3] складає 2 грн., [pic 4] –3 грн.

Побудуйте математичну модель задачі, що дозволяє так організувати харчування, щоб його вартість була мінімальною, а організм одержав необхідну кількість поживних речовин.

ВИРІШЕННЯ:

Вартість набору продуктів представимо у вигляді функції:

Z (x) = П 1 х 1 + П 2 х 2 → min

Однак, повинні виконуватися обмеження по даному набору продуктів

[pic 5]

Виходячи з останньої нерівності, повинна виконуватися умова:       х 2 ≥ 100

Тепер побудуємо 3 лінії

0,2х 1 + 0,1 х 2 = 120

0,075 х 1 + 0,1 х 2 = 70

х 2 = 100

По черзі прирівняємо х1 і х2 до 0.

Отримаємо точки:

для лінії 1     -  (1200; 0) і (0: 600)

для лінії 2      -   (700; 0) і (0; 933)

Вісь абсцис - це вісь Х2

Вісь ординат - вісь Х1

Набір елементів повинен бути не менший встановлених значень, то  шукана область значень знаходиться за лініями (заштриховано).

Побудуємо вектор виходячи з того, що ціна на продукти П1 - 2 грн., а ціна на продукт П2 - 3 грн.

Проведемо лінію, перпендикулярно вектору.

Виходить, що найближча точка - це точка К (100; 800).

Отже,  х1 = 800

  х2 = 100

[pic 6]

Перевіримо:
[pic 7]

Тобто за умовою змісту елементів дане співвідношення підходить.

Витрати будуть рівні:   2 * 800 + 3 * 100 = 1900 грн.