Випадкові величини та їх розподіл

1. Випадкові величини та їх розподіл

Закон розподілу дискретної випадкової величини. Одним із ос- новних понять у теорії ймовірності є поняття випадкової величини.

Величина називається випадковою, якщо в результаті випробування вона приймає із множини можливих своїх значень одне і тільки одне наперед невідоме можливе значення, залежне від випадкових причин, які врахувати неможливо. Випадкові величини бувають дискретні і неперервні.

Приклад: а) Дискретної величини. Монету кидають один раз, при цьому герб може випасти або 0 раз або 1 раз, тобто випадкова вели- чина (частота появи герба) може прийняти тільки одне із цих двох можливих значень.

б) Неперервна випадкова величина. Відстань польоту снаряду — випадкова величина, яка може прийняти будь-яке, але тільки одне значення на деякому проміжку, який є множиною можливих її зна- чень.

Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона може приймати, і ймовірностями, з якими ці значення з’явля- ються.

Множина всіх можливих значень дискретної випадкової величини з їх ймовірностями називається законом розподілу цієї випадкової величини.

Нехай нам відомі всі можливі значення x1, x2, x3, ..., xn випадкової величини X (випадкові величини як правило позначаються великими буквами, а їх значення маленькими) із їх ймовірностями p1, p2, p3, ..., pn — відповідно. Випадкова величина X  при одному випробуванні приймає тільки одне із n можливих своїх значень із відповідною ймовірністю, тобто в результаті випробування обов’язково відбу- деться одна із єдино можливих подій:

X = x1; X = x2; X = x3; ... X = xn.

Такі події утворюють повну систему подій і, отже, сума ймовір- ностей цих подій:

p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1.

Запишемо закон розподілу випадкової величини формулою:

P(X = xi) = pi, де (i = 1, 2,..., n)

або у вигляді таблиці:

Приклад 1. У грошовій лотереї розігрується один виграш в 1000 гривень, 10 виграшів по 100 гривень і 100 виграшів по 1 гривні, при загальному числі білетів 10000. Знайти закон розподілу випадкового виграшу X для власників одного лотерейного білета.

Тут можливі значення для X є

x1 = 1000, x2 = 100, x3 = 1, x4 = 0.

Ймовірності їх відповідно будуть:

p1 = 0,0001, p2 = 0,001, p3 = 0,01,

p4  = 1 − ( p1 +

p2  +

p3 ) ≈ 0,9889 .

Закон розподілу для виграшу X може бути заданий таблицею:

Закон розподілу випадкової величини можливо задати графічно, для цього будують так званий полігон розподілу ймовірності.

Приклад 2. Ймовірність виготовлення нестандартної залізобетон- ної балки на заводі стала і дорівнює 0,05. Для перевірки якості кон- тролер бере із партії не більше 4 виробів, при знаходженні нестан- дартної балки вся партія затримується. Скласти закон розподілу числа виробів, які перевіряє контролер і побудувати полігон розподілу цієї випадкової величини X.