Өмір ұзақтылығының кестелері

«Актуарлы математика» пәні   5-дәріс. Тақырып: Өмір ұзақтылығының кестелері.

Қарастырылатын сұрақтар: Өмір ұзақтылығының кестелері. Тәуекелді таңдап алу кестесі. Шектелген әрекеттер таңдамасының кестесі.

Өмір ұзақтылығының кестелері

Өмір ұзақтылығының статистикалық деректерді өмір ұзақтылығының кестесінде жинақталады. Кейде оларды өлім кестелері деп атайды. Тек қана жасы белгілі кездейсоқ таңдаған адамның өмір ұзақтылығының статистикалық қасиеті туралы мағлұматтан тұратын кестелер ең қарапайым түрі болып табылады. Бұндай кестелер жеңілдетілген немесе ортақ деп аталады. Олар өлімнің ортақ жақынырақ сүретін алуға мүмкіндік береді.

Бұндай кестелерге мысал ретінде халықтың өлімі туралы деректерден тұратын танымал кестелер болады.

Түптеп келгенде кез-келген есепті шығару үшін  түрткілеу функциясын білген жеткілікті, алайда кестелер көрнекілігі үшін бұрын енгізілген шамаларды қосады:[pic 1]

1)  -  тобының жаңа туылған  жасқа дейін тірі мүшелерінің орташа мәні;[pic 2][pic 3][pic 4]

2) -тен  жыл аралығында қайтыс болған топ мүшелерінің саны;[pic 5][pic 6]

3)  -  жастағы адамның бір жылда өліп қалу ықтималдығы;[pic 7][pic 8]

4)  - орташа қалдық өмір сүру уақыты.[pic 9]

Кесте қадамы ретінде бір жыл қаралады.

Тәуекелді таңдап алу кестесі

Әр түрлі жоғары дамыған Батыс елдерінің тұрғындарының және кедей Африка мемлекет тұрғындарының өмір ұзақтылығының статистикалық қасиеті белгілі. Сондықтан ортақ кесте шын қызығушылық көрсетеді.

Алайда, бір елдің тұрғындарының арасында өмір ұзақтылығы әр түрлі сипаттамалардан тұратын  халық топтары болады. Алдымен ескеретін жағдай еркектер арасындағы өлім әйелдер арасындағы өлімнен бірнеше есе жоғары.

Үй шаруасындағы адамдарының өлімі шахтерлар арасындағы өлімнен аз болуы мүмкін. Сақтандыру келісім шартқа отыру алдында медтексеруден өткен адамдар арасындағы өлім, ел бойынша орташа көрсеткішінен аз; керісінше ауруына байланысты шыққан адамдар арасындағы өлім жоғары (әрине, біз бүкіл жағдайда бірдей жастағы адамдарды салыстырамыз). Бірақ сақтандыру компаниясы абстрактілі адамдармен емес, нақты яғни белгілі бір ақпараты белгілі адамдармен істес болады (жынысы, мамандық т.б.). Сондықтан, компанияда әр түрлі тұрғындар тобының өмір ұзақтылығының толық кестелер жиыны болу керек. Бұндай кестелер қауіп-қатер таңдап алу кестелері деп аталады. Әдетте бірнеше негізгі кестелер құрылады, ал көп мүшелі қосымша қауіп-қатерлер андеррайтинг басшылық көмегімен есептелінеді. Бұлар негізгі кестеге лайықты коэффициенттер береді.

«Таңдап алу» термині кейбір таңдап алынғаннан кейін құрылған кестелер тобына түскен адамдарға байланысты. Кейде бұл таңдау біреуімен әдейі өткізіледі (мысалы, сақатандыру келісім шартқа отыру алдындағы медкомиссия), кейде сыртқы жағдай кесірінен болады (ауру әсерінен пенсияға рәсімдеу кезінде). Бұндай топқа кірген адамдар арасындағы өлім тек оның  жасына ғана емес және қашан таңдау өткеніне байланысты. Мысалы, медициналық андеррайтингтен өткен және сақатандыру келісім шартқа отырған адамдарды қарастырайық. Осы топқа жататын адамның жақын жыл аралығында өлімнің ықтималдығы кездейсоқ таңдап алынған сол жастағы адамның жақын жыл аралығындағы өнімінің ықтималдығына қарағанда аз. Жаңа ғана таңдау өткен адамның жақын жыл аралығында өлімінің ықтималдығы бірнеше жыл бұрын таңдау өткен сол жастағы адамның жақын жыл аралығында өлімінің ықтималдығынан кішілігі қызық. Мысалы, келісім шарттың бір жылы үшін берілген Великобританияда 1970-1972 жж. сақтандыру статистикасы бойынша 52 жастағы еркектің өлу ықтималдылығы 0,344 % тұрады, 0,429- егер келісім шарт отырғанына 1 жыл өткен моментінде және 0,603% егер 2 және одан көп жыл өткен болса. Таңдау кестесіне кірген  шама 2 аргументтен тұрады.  таңдау моментін көрсетеді,  - таңдау моменті өтуінің уақыты. Актуарлық математикада бұл тәуелділік  білдіреді.  белгілі жас кезінде және  таңдау моменті  шамасы   шамасынан негізінде ешқандай айырмашылық жоқ. Сондықтан таңдап алынған адамдардың өмір ұзақтығын сипаттауда жоғарыда келтірілген нәтижелердің барлығы орынды, ал дәлірек айтсақ:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]