Свободные колебания механических консервативных систем с двумя степенями свободы. Сравнение расчётов по линейной и нелинейной теории
Автор: TimurFidailevich • Май 14, 2021 • Курсовая работа • 1,285 Слов (6 Страниц) • 379 Просмотры
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
Свободные колебания механических консервативных систем с двумя степенями свободы. Сравнение расчётов по линейной и нелинейной теории
по дисциплине «Курсовое проектирование по теоретической механике»
Выполнил
студент <подпись>
Руководитель
Ассистент <подпись>
«___» __________ 2021 г.
Санкт-Петербург
2020
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 3 |
1. Исходные данные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . | 4 |
2. Вывод уравнений движения системы в обобщенных координатах. . .. | 5 |
3. Нахождение положений равновесия системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 6 |
4. Построение приближенного аналитического решения………………... | 7 |
5. Интегрирование точных дифференциальных уравнений движения системы…………………………………………………………………… | 10 |
6. Сравнение численного и приближенно-аналитического подходов… | 12 |
7. Заключение…………………………………………………………….. | 15 |
Список использованной литературы…………………………………… | 16 |
ВВЕДЕНИЕ
Колебательные процессы наблюдались и исследовались человеком на протяжении всего его существования. Например, любой из нас не может представить свою жизнь без такой, на первый взгляд элементарной вещи, как часы. Тем не менее в основе этого механизма лежит сложный колебательный процесс. Также колебательные системы часто встречаются при исследовании явлений радиоактивности, в электротехнике, волновой оптике и т. д.
В свете вышеобозначенных причин возникает проблема исследования подобного рода систем. В данной работе для описания колебательных систем будут использованы уравнения Лагранжа II рода. В общем случае получаем систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Если рассматривать данную систему в диапазоне малых колебаний, где справедлива линейная теория, то её аналитическое решение удастся найти, однако в случае необходимости выхода из диапазона малых колебаний можно будет воспользоваться численными методами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому основная суть работы будет заключаться в сравнении аналитического в линейном приближении и численного подходов.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Рассматривается консервативная колебательная система, состоящая из груза 1 и 2. Груз 1 соединен со вторым посредством пружины с жесткостью . Груз 2 подвешен на стержне шарнирно в точке О. Также 2 груз прикреплен к стенке посредством пружины с жесткостью .[pic 1][pic 2]
На рисунке 1 представлена сама система:
[pic 3]
Рисунок 1, схема колебательной системы
[pic 4]
Начальные условия:
[pic 5]
За обобщенные координаты удобно принять координату 1 груза и угол отклонения от положения равновесия 2 груза . Стержни будем считать невесомыми. Массами пружин, изменением их направления при деформировании и силами сопротивления пренебрегаем.[pic 6][pic 7]
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
Так как в нашем случае система консервативная, можно записать уравнения Лагранжа в следующем виде:
(1), где: [pic 8]
T – суммарная кинетическая энергия системы
П – суммарная потенциальная энергия системы
– обобщенные координаты[pic 9]
– обобщенные скорости[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
- кинетическая энергия 1 груза.[pic 13]
– кинетическая энергия 2 груза.[pic 14]
– потенциальная энергия 1 груза. Отсчёт проводим от точки B. Как видно, потенциальная энергия 1 груза неизменна.[pic 15]
...