Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета демпфирования

Қазақстан Республикасының Ғылым мен Білім Министрлігі

РГП ПХВ «Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті»

Сәулет-құрылыс факультеті

«Құрылыс» кафедрасы

МӨЖ

Тақырыбы: «Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета демпфирования»

Орындаған: М124-23-01 тобының студенті

               Сабидуллаева М. М.

                                                    Қабылдаған: Абильмаженов Т. Ш.

Астана 2023ж

Содержание

1. Введение

2. Действие мгновенного импульса

3. Действие системы импульсов

4. Действие произвольной нагрузки

5. Действие вибрационной нагрузки

6. Действие внемассовой нагрузки

7. Кинематическое возмущение эпюр

1. Введение

Когда колебательная система без демпфирования с одной степенью свободы совершает вынужденные колебания под воздействием динамической силы P=P(t), дифференциальное уравнение ее движения получается при R*=0:

[pic 1]          (1)

Оно является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения yод и частного решения неоднородного уравнения yч:

[pic 2]       (2)

Однородное уравнение совпадает с уравнением собственных колебаний, поэтому его общее решение совпадает с общим решением уравнения собственных колебаний, т.е.

[pic 3]        (3)

Частное решение неоднородного уравнения yч зависит от динамической нагрузки в правой части. Удобным методом его получения является представление нагрузки как системы мгновенных импульсов.

2. Действие мгновенного импульса

Пусть находящаяся в покое колебательная система с массой m в момент времени τ подвергается действию мгновенного импульса S (рис. 1 а). Это воздействие вызовет свободные колебания системы, которые, если не учитывать демпфирование, можно считать собственными колебаниями. Поэтому примем

[pic 4]          (4)

[pic 5]

Рис. 1

Мгновенный импульс не успевает изменить положение массы, поэтому yt=τ=0. Однако, действуя как импульс, он сообщает массе начальную скорость vt=τ=S/m. По этим начальным условиям определим амплитуду и начальную фазу колебаний:

[pic 6]       (5)

Тогда уравнение принимает вид

[pic 7]           (6)

Значит, колебания массы m будут происходить с собственной частотой ω и периодом T собственных колебаний системы. График этого движения представлен на рис. 1 б.

3. Действие системы импульсов

Если в моменты τ1,τ2,…,τk на систему действуют несколько мгновенных импульсов S1, S2, ..., Sk, то на основе принципа суперпозиции (независимости действия сил), перемещение массы будет определяться суммой перемещений от каждого импульса. С учетом (6), получим

[pic 8]               (7)

Наиболее невыгодным, оказывающим наибольшее воздействие на систему, является периодическое действие импульсов. Пусть импульсы равной величины S действуют через период Ts (рис. 2 а). Если момент (время) начала действия первого импульса принять τ1=0, то момент приложения i-го импульса будет

 τi=(i–1)Ts . Тогда имеем

[pic 9]

[pic 10]

Рис. 2

Если период действия импульсов равен периоду собственных колебаний (т.е.

Ts = Т=2π/ω ), то уравнение движения массы будет определяться формулой

[pic 11]

Из него следует, что амплитуда колебаний зависит от числа импульсов k:

[pic 12]    где    [pic 13]   k – число импульсов.

График этого движения представлен на рис. 2 б.

Таким образом, при действии импульсов с постоянной частотой, равной частоте собственных колебаний системы, амплитуда колебаний равномерно и неограниченно растет. Совпадение частоты возмущающей силы с собственной частотой и сопровождающие его явления называются резонансом. При резонансных колебаниях сооружения возникают большие деформации и напряжения, что может привести к разрушениям.