Контрольная работа по "Физике"

Задача 3

Мяч, упавший с высоты 1 м, два раза ударяется о наклонно поставленную доску. Расстояние между точками удара мяча о доску 4 м. Удар мяча о доску абсолютно упругий. Сопротивлением воздуха пренебрегите. Определите угол между доской и горизонтом; уравнение траектории мяча; радиус кривизны его траектории в точке наивысшего подъема после первого удара.

Решение:

Делаем чертеж:

[pic 1]

Угол между доской и горизонтом обозначим а. Отмечаем траекторию движения мяча: точка А — точка первого удара мяча, точка В — точка второго удара мяча о доску.

Мяч, упавший с высоты h, в момент первого удара о плоскость в точке А имеет скорость:

[pic 2]

Так как удар мяча о доску абсолютно упругий, то мяч отскочит от доски со скоростью u под углом 2α к вертикали.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вертикальная ось OY прошла через точку первого удара, а ось ОХ — через точку второго удара. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как результат сложений двух более простых движений: вдоль поверхности земли и перпендикулярно этой поверхности. В горизонтальном направлении на мяч силы не действуют, поэтому его движение будет равномерным. Перемещение мяча описывается уравнением

[pic 3]

В вертикальном направлении на мяч действует сила тяжести, поэтому движение вначале будет равнозамедленным, а потом равноускоренным с ускорением свободного падения g. Перемещение мяча в выбранной системе координат описывается уравнением

[pic 4]

Координаты точки В равны

[pic 5]

Подставляя значения координат точки В в уравнения:

[pic 6]

[pic 7]

где t — время движения мяча в воздухе от первого до второго удара о доску.

Исключив время из последних двух уравнений, получим

[pic 8]

Подставив значение скорости u решим его относительно sin α

[pic 9]

Отсюда

[pic 10]

Для нахождения траектории движения точки — мяча, нужно найти связь между ее координатами х и у в произвольный момент времени t.

Из второго уравнения найдем время t и, подставив его в третье уравнение, получим

[pic 11]

Эго уравнение вида у = -ax2+bx+с представляет собой уравнение параболы, не проходящей через начало координат и обращенной выпуклостью вверх.

Для определения радиуса кривизны R в какой-либо точке траектории нужно знать в этой точке скорость v и нормальное ускорение аn

[pic 12]

Так как никакие силы, кроме силы тяжести, на брошенное тело не действуют, то полное ускорение в любой момент времени и в любой точке траектории равно ускорению свободного падения

[pic 13]

где аn — нормальное ускорение, характеризующее изменение скорости по направлению, аτ — тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю.

В точке наивысшего подъема мяча вектор скорости направлен горизонтально, а полная скорость равна горизонтальной составляющей скорости, которая во время движения остается постоянной. Следовательно, тангенциальное ускорение в этой точке траектории равно нулю, а полное ускорение равно нормальному ускорению

[pic 14]

[pic 15]

Ответ: α = 30, R = 1,5, [pic 16][pic 17]

Задача 6

Как будет изменяться скорость тела, движущегося вертикально вверх с начальной скоростью V(0), если можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорционально скорости тела?

Решение:

[pic 18]

Тело движется вертикально вверх с начальной скоростью v0, не равной нулю

Если не учитывать сопротивление воздуха, то ускорение движения равно g и в начале движения направлено вниз

По истечении времени tИ тело достигает высоты hmax его скорость в этот момент v = 0