Кинематика гармонических колебаний

1

Дополнение 1.

Литература: Иродов И. Е. Механика. Основные законы. — М.: БИНОМ. Лаборатория

знаний, 2014.

§ 6.1. Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х

(например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со

временем t по закону

где а — амплитуда, (ω0t + α) — фаза, α — начальная фаза, ω0 — циклическая (круговая)

частота колебаний. Эта частота связана с периодом Т и линейной частотой ν как

Обратим внимание на различие наименований циклической и линейной частот: ω,

c

-1

, а ν, Гц (герц).

Продифференцировав (6.1) по времени, найдем скорость 𝑥 и ускорение 𝑥

Из этих выражений видно, что скорость 𝑥 и

ускорение 𝑥 также изменяются по гармоническому закону

с амплитудами aω0 и aω0

2

соответственно. При этом

скорость опережает смещение х по фазе на π/2, а

ускорение — на π, т. е. находится в противофазе со

смещением х. На рис. 6.1 приведены графики

зависимостей x(t), 𝑥 (t) и 𝑥 (t) для случая α=0.

Сопоставив (6.4) и (6.1), видим, что 𝑥 =- ω0

2

x, или

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического

осциллятора. Его решение (6.1)* содержит две произвольные постоянные: а и α.

_________

* Заметим, что решение (6.1) может быть представлено и в ином виде, например

х=Asinω0t+Bcosω0t, где А и В — постоянные, или как x = Re {а e

i(ω0t+α)}.

2

Для каждого конкретного колебания они определяются начальными условиями —

смещением х0 и скоростью 𝑥 0 в начальный момент t = 0:

Отсюда находим искомые постоянные:

Обычно рассматривают только значения α в интервале (-π,+π). Уравнение для tgα

удовлетворяется двумя значениями α в этом интервале. Из этих значений следует взять то,

при котором получаются правильные знаки у cosα и sinα в (6.6).

Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из

законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения

системы, и если оно приводится к виду (6.5), то можно однозначно

утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором,

частота ω0 которого равна корню квадратному из коэффициента при х.

Рассмотрим несколько примеров и затем обобщим полученные

результаты.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы m, подвешенный на

невесомой пружине жесткости ϰ, совершает вертикальные колебания

(рис. 6.3). Возьмем начало О оси Х в положении равновесия, где mg =

ϰΔl, Δl — растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно

основному уравнению динамики, m𝑥 = mg – ϰ (x + Δl) = –ϰx, или

Из сопоставления с (6.5) видим, что это уравнение гармонического осциллятора,

колеблющегося около положения равновесия с частотой ω0 и периодом Т, равными

Математический маятник. Материальная точка массы m,

подвешенная