Нелинейные колебания. Исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БИРСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Физико-математический факультет

Кафедра высшей и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Нелинейные колебания. Исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости.

                                                    Выполнила: студентка 2 курса

физико-математического факультета

очного отделения БФ БашГУ

Хасанова Э.Н.

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., доцент Чиглинцева А.С.

Бирск 2017

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...1 

Глава I. Нелинейные колебания. Исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости…….…………...………………...……………………………...4

1.1. Нелинейные колебания. Примеры нелинейных систем...................................4

2.2. Исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости……………….6

Глава II.Практическая часть……………………………………….………………12

2.1. Задача о фазовом портрете незатухающего гармонического осциллятора..12

2.2. Задача о фазовом портрете гармонического осциллятора с вязким трением……………………………………………………………………………...13

2.3. Задача о фазовой траектории для нелинейной колебательной системы с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости……………………….19

2.4.  Задача о движении физического маятника……………...…………………..21

2.5. Задача о фазовом портрете нелинейной колебательной системы………….23

Заключение…………………………………………………………………………25

Литература        ………………………………………………………………………….26

Введение

            При колебаниях материальной точки сила упругости [pic 1] и сила сопротивления движению [pic 2] изменялись по линейному закону.

Во многих механических системах движение описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Значительному количеству электромеханических и электрических систем также соответствуют нелинейные уравнения. Появление в уравнениях нелинейных членов обусловлено, например, наличием силы упругости или силы сопротивления движению, либо тока, изменяющихся по нелинейному закону.

Линеаризация подобных дифференциальных уравнений движения, т. е. замена точных нелинейных приближенными линейными уравнениями, влияет не только на количественные результаты, но существенно искажает качественную сторону рассматриваемых явлений, присущих только нелинейным системам.

           Так, изохронность, т. е. независимость частоты линейных колебаний маятника от начальных условий движения, отсутствует в случае нелинейных колебаний. Амплитуда линейных вынужденных колебаний при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, являющаяся однозначной непрерывной функцией коэффициента расстройки, изменяется скачкообразно в случае нелинейных вынужденных колебаний (явление «скачка»). Природу автоколебаний невозможно объяснить с помощью приближенных линеаризованных дифференциальных уравнений.

            В связи с отсутствием общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений за последнее время были разработаны и получили широкое применение приближенные аналитические и графические методы.

               Цель: Изучение нелинейных колебаний и исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости.

          Задачи: 
1)  Уметь использовать методы описания нелинейных процессов для решения прикладных задач.
2)  Уметь исследовать нелинейные колебания на фазовой плоскости.

3)Уметь находить возможные состояния равновесия и определить устойчивость равновесия системы на фазовой плоскости.