Сложение гармонических колебаний

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» (РУТ (МИИТ)

Московский колледж железнодорожного транспорта

Института прикладных технологий

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

По дисциплине: Математике

На тему: Сложение гармонических колебаний

                                                                                                   Выполнил:

                                                                                                   Студент  1 курса

                                                                                                   дневного отделения

                                                                                                   группы МОАВ-151

                                                                                                    Исламов Э.Ш.

                                                                                                    Проверила:

                                                                                         Лапина И.В

Москва 2018

Сложение гармонических колебаний

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 1). Пусть колебания заданы уравнениями

[pic 1]         (зад. 1)

[pic 2]

(Рис. 1)

Отложим из точки О вектор [pic 3]  под углом φ1 к опорной линии и вектор [pic 4]  под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени ( [pic 5] ). Такие колебания называют когерентными.

 Нам известно, что суммарная проекция вектора [pic 6]  равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды [pic 7], вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и  [pic 8], и  [pic 9] . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:

[pic 10]\

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:

[pic 11]

 Результирующую амплитуду найдем по формуле

[pic 12]  (зад. 2)

Начальная фаза определяется из соотношения

[pic 13](зад. 3)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (зад. 2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз  [pic 14]. Возможные значения А лежат в диапазоне  [pic 15] (амплитуда не может быть отрицательной).

Рассмотрим несколько простых случаев.

1.Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть  [pic 16], где  [pic 17]. Тогда [pic 18]  и

[pic 19](зад. 4)

так как  [pic 20] , т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны) (рис. 2).

[pic 21](рис. 2)

2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть  [pic 22], где  [pic 23]. Тогда  [pic 24]. Отсюда

[pic 25](зад. 5)

 На (рис. 3) изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе).

[pic 26](рис. 3)

3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:

[pic 27](зад. 6)