Закон сохранения энергии в механике

Лекция №1

Тема: Закон сохранения энергии в механике.

В основе классической механики лежат ньютоновы «аксиомы, или законы движения». Математическая формулировка в виде уравнений движения вытекает, как известно, из второго закона, согласно которому производная по времени от количества движения равна приложенной силе. Для одной частицы этот закон дает три дифференциальных уравнения :

=X ; ; ,                      (1)                                                   [pic 1][pic 2][pic 3]

где  – проекции силы на оси координат. Эти три скалярных уравнения можно заменить одним векторным [pic 4]

                      (2)[pic 5]

(производную по времен мы будем обозначать точкой ).

Уравнения движения, написанное в форме (2) с производной от количества движения в левой части, пригодно как для случая  малых скоростей (по сравнению со скоростью света), так и для больших (). Но только в том случае, когда , массу можно считать не зависящей от скорости, и производная  в этом случае есть просто  или , где r – радиус-вектор, определяющий положение частицы. При этом условии для малых скоростей три скалярных уравнения (1) можно написать в обычном виде:[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

 ;               (1.1)[pic 11][pic 12][pic 13]

а векторное уравнение (2) -  в виде

.                                 (2.1)[pic 14]

Умножим теперь уравнение (2.1) скалярно на скорость [pic 15]

.             (3)[pic 16]

Левую часть полученного равенства преобразуем так:

.[pic 17]

Величина                            (4)[pic 18]

называется кинетической энергией. Итак, в левой части (3) мы имеем производную по времени от кинетической энергии

                                          (5)[pic 19]

Из (3) и (5) получаем

.                  (6)[pic 20]

Но  есть работа  силы на элементарном перемещении , следовательно, работа силы равна приращению кинетической энергии. [pic 21][pic 22]

Во многих случаях составляющие силы могут быть выражены как взятые со знаком минус частные производные по координатам от некоторой функции координат U:

,                                  (7)[pic 23][pic 24][pic 25]

или, в векторной форме,

                         (7.1)[pic 26]

В этом случае

.           (8)[pic 27]

Если U есть функция одних только координат, то в правой части (8) мы имеем полный дифференциал

                          (9)     [pic 28]

Работа силы на элементарном перемещении  будет тогда [pic 29]

[pic 30]

а работа силы на конечном пути от точки А до точки В

[pic 31]

Если U есть, кроме того, функция однозначная, то работа силы, как видно, не зависит от пути и равна разности значений U в начальной и конечной точках пути. Функция U, обладающая свойством, выраженным равенствами (7), вообще называется потенциальной функцией. Если она не зависит явно от времени и является однозначной функцией координат, то она называется потенциальной энергией.

Из (3), (5) и (9) следует

                     (10)[pic 32]

Откуда

            (11)[pic 33]

Это и есть механический закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Поле сил, имеющих потенциал U, не зависящий явно от времени, называется консервативным.

Бывают, однако, случаи, когда функция U, обладающая свойством (7), существует, но она зависит от времени. Рассмотрим, например, движение заряженной частицы внутри конденсатора, между пластинами которого имеется разность электрических потенциалов V, периодически меняющаяся со временем, например по закону косинуса  Произведение заряда e на V[pic 34]