Динамические системы с трением наследственного типа

Оглавление

Введение        3

Исследование        4

Постановка задачи        4

Фазовый портрет        5

Функция последования        8

Случаи экспоненциальной и кусочно-линейной характеристик трения покоя        9

Программный комплекс        11

Руководство пользователя        11

Построение фазовой траектории        11

Построение бифуркационной диаграммы        12

Построение функции последования        12

Результаты численных экспериментов        14

Заключение        26

Список литературы        27

Приложение        28

Решение трансцендентных уравнений        28

Код программы        28

Введение

Коэффициент трения относительного покоя при взаимодействии двух тел не является постоянной величиной[2], а  есть монотонно возрастающая функция времени tk длительного контакта этих тел. В связи с этим встает вопрос о построении математических моделей систем с переменным коэффициентом трения относительного покоя и исследования его влияния на динамические характеристики систем. 

Исследование

Постановка задачи

Рассмотрим фрикционные автоколебания одномассовой системы (Рис.1) в предположении, что коэффициент трения скольжения тела, о движущуюся со скоростью V ленту, постоянен, а коэффициент трения относительного покоя является монотонно возрастающей функцией       t = tk (Рис.2)[2].

[pic 1] 

Рисунок 1

[pic 2] 

Рисунок 2

Пусть продолжительность k-го интервала длительного контакта с лентой равна tk (k =

…,-1,0,1,…). Сила сухого трения внутри этого интервала равна [pic 3], и происходит  совместное движение тела с лентой согласно уравнению [pic 4], где абсолютная координата x совпадает с деформацией пружины, P – вес тела. На этапах проскальзывания тела, оно будет иметь другое поведение, с уравнением вида: [pic 5]

[pic 6] 

Получаем систему:

[pic 7].         (1)  

Фазовый портрет

Введем         безразмерное         время [pic 8]        ,         координату         [pic 9]        ,         и         параметры

[pic 10].

Преобразуем систему (1):

[pic 11] 

Обозначим [pic 12]:

[pic 13] .

[pic 14] 

[pic 15] 

[pic 16] 

[pic 17] 

Получили систему с безразмерным временем:

[pic 18].               (2)

Построим фазовый портрет, для этого рассмотрим несколько случаев [pic 19].

1. [pic 20] 

В данном случае уравнение будет иметь следующий вид:  

[pic 21]