Биом Ньютона
Автор: seaoceandrive • Май 19, 2019 • Реферат • 1,120 Слов (5 Страниц) • 680 Просмотры
Реферат
На тему:
«Биом Ньютона»
Выполнил:
Тетерин Андрей Тимофеевич
ученик 10 класса
МБОУСОШ «Гимназия №17»
Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
[pic 1]
где [pic 2] — биномиальные коэффиценты, [pic 3] — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
Доказательство
Доказательство:
Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n:
База индукции: [pic 4]
[pic 5]
Шаг индукции: Пусть утверждение для [pic 6] верно:
[pic 7]
Тогда надо доказать утверждение для [pic 8]:
[pic 9]
Начнём доказательство:
[pic 10]
Извлечём из первой суммы слагаемое при [pic 11]
[pic 12]
Извлечём из второй суммы слагаемое при [pic 13]
[pic 14]
Теперь сложим преобразованные суммы:
[pic 15]
[pic 16]
Что и требовалось доказать.
Обобщения
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции [pic 17] в ряд Тейлора:
[pic 18],
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
[pic 19]
При этом ряд
[pic 20].
сходится при [pic 21].
В частности, при [pic 22] и [pic 23] получается тождество
[pic 24]
Переходя к пределу при [pic 25] и используя замечательный предел [pic 26], выводим тождество
[pic 27][pic 28]
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Мультиномиальная теорема
Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
...