Случайные блуждания и закон арксинуса

Содержание

1.Введение…………………………………………………………………………2

2.Случайное блуждание. Пример задачи………………………………………4

3.Скорость сходимости предельных значений………………………………….8

4. Средняя длительность случайного блуждания………………………………9

5.Принцип отражения…………………………………………………………...11

6.Закон арксинуса………………………………………………………………..12

7.Моделирование…………………………………………………...……………13

8.Заключение……………………………………………………...……………...15

9.Список используемых источников…………………………………………...16

Введение

Курсовая работа посвящена изучению случайных блужданий и закона арксинуса. Для того что бы лучше разобраться в случайных блужданиях, рассмотрим схему Бернулли.

Схемой Бернулли или последовательностью   независимых одинаковых испытаний с двумя исходами называется случайный эксперимент, в котором:[pic 1]

1. проводится  независимых испытаний;[pic 2]
2. каждое испытание кончается одним из двух исходов (один исход называется «успех» и обозначается 1, а второй – «неуспех» и обозначается 0);
3. вероятность появления «успеха» одна и та же в каждом испытании и равна .[pic 3]

Числа и  называются параметрами схемы Бернулли.[pic 4][pic 5]

Схемой Бернулли с параметрами  и  называется дискретное вероятностное пространство  , где состоит из элементарных исходов вида , , а вероятности элементарных исходов задаются по правилу , где  число исходов .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Локальная предельная теорема:

Пусть  тогда равномерно по всем  таким, что [pic 16][pic 17][pic 18]

 ,[pic 19]

т.е. при  [pic 20]

[pic 21]

где .[pic 22]

Предельная теорема Муавра-Лапласа:

Пусть событие  может произойти в любом из  независимых испытаний с одной и той же вероятностью  и пусть  число осуществлений события  в  испытаниях. Тогда[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

  , при ,[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

т.е. для любых вещественных   имеет место сходимость[pic 33]

.[pic 34]

Предельная теорема Пуассона:

Пусть   и  так, что . Тогда для любого   вероятность получить  успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха  стремится к величине  :[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

.[pic 43]

Значение предельных теорем для схемы Бернулли не только дают удобные формулы для подсчета вероятностей  и  Они также носят универсальный характер.[pic 44][pic 45]

Случайное блуждание. Пример задачи

Рассмотри схему Бернулли , где ,  система всех подмножеств  и , . Пусть , . Тогда  это последовательность независимых бернуллиевских случайных величин[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

,   ,   .[pic 55][pic 56][pic 57]

Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени.
Положим ,   Последовательность  можно рассмотреть как траекторию случайного блуждания некоторой частицы, выходящей из нуля. При этом .[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

Возьмем два целых числа  и , . Одна из задач, связанная со случайным блужданием, исследует то, с какой вероятностью[pic 63][pic 64][pic 65]

блуждающая частица выйдет за  шагов из интервала  и в какой это произойдет точке:  или .[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

Это можно разобрать на следующем примере. Пусть у двух людей (первого и второго) равные суммы денег . Будем считать, что второй человек платит некоторую сумму первому, если  , и наоборот, если . Тогда эту величину  можно описать как величину выигрыша первого человека у второго ( проигрыш первого второму) за  «шагов».[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]