Линейные электрические цепи постоянного тока

1  ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для выбранной схемы необходимо:

1) Выбрать дерево графа, по нему определить независимые контуры;

2) Для заданной схемы составить систему независимых уравнений по законам Кирхгофа;

3) Записать контурные уравнения в матричном виде для определения токов в ветвях схемы и рассчитать их;

4) Записать узловые уравнения в матричном виде для определения токов в ветвях схемы и рассчитать их;

5) Составить баланс мощностей для исходной схемы;

6) Методом эквивалентного генератора определить ток во второй ветви. Входное сопртивление должно быть определено методом преобразования схем;

7) Используя матрицы, составленные в п.3 и п.4, найти входную проводимость второй ветвии передаточные проводимости между второй ветвью и всеми остальными ветвями схемы. Сравнить найденное значение входной проводимости второй ветви со значением, полученным согласно п.6 по входному сопротивлению второй ветви.

[pic 2]

Рисунок 1 – Схема к заданю 1.

Заданные параметры цепи:

[pic 3]            (1)

1.1  Независимые контуры по дереву графа.

Составляем расчетную схему цепи. На схеме обозначаем узлы цепи (a,b,c,d) и контура I,II,III, IV.

[pic 4]

Рисунок 2 – Схема к заданию 1.1

1.2  Система уравнений по законам Кирхгофа.

Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа. Заданная схема содержит n=7 неизвестных токов и m=4 узла. Составляем m-1=3 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и n-(m-1)=4 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

[pic 5]             (2)

1.3  Контурные уравнения в матричном виде.

Для выбранных контуров I, II, III, IV обозначаем контурные токи как [pic 6]. Преобразовываем источники тока в эквивалентные источники ЭДС [pic 7]

[pic 8]

Рисунок 3 – Схема к заданию 1.3

Для полученной схемы составляем систему уравнений по методу контурных токов:

[pic 9]                                (3)

В матричной форме система уравнений имеет вид:

[pic 10]                 (4)

Полученную систему уравнений решаем с помощью ПЭВМ в программе Mathcad.

[pic 11]   (5)

В результате расчета получены следующие значения контурных токов:

[pic 12]

Определяем значения токов преобразованной схемы:

[pic 13]     (6)

1.4  Узловые уравнения в матричном виде.

Принимаем потенциал узла d равным нулю, а для остальных узлов цепи составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов:

[pic 14]                          (7)

В матричной форме система уравнений имеет вид:

[pic 15]           (8)

Систему уравнений решаем с помощью ПЭВМ в программе MathCad.

[pic 16] (9)

В результате решения получены следующие значения потенциалов узлов цепи:

[pic 17]                                     (10)

Рассчитываем токи в ветвях цепи:

[pic 18]      (11)

1.5  Баланс мощностей.

Рассчитываем мощности на источниках тока:

[pic 19]     (12)

Мощность, выделяемая источниками:

[pic 20]      (13)

Мощность, потребляемая нагрузками:

[pic 21]      (14)

Баланс мощностей сходится

1.6  Расчет методом эквивалентного генератора.

Рассчитываем эквивалентную ЭДС для 2-й ветви.

[pic 22]

Рисунок 4 – Схема к заданию 1.6

Для полученной схемы составляем и решаем систему уравнений по методу узловых потенциалов:

[pic 23]                                 (15)

[pic 24]                      (16)

[pic 25]     (17)

Решение системы уравнений: [pic 26]                                  (18)

Значение эквивалентной ЭДС:

[pic 27]                                                  (19)