Численное интегрирование функций

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛЬ-ХОРАЗМИ

По предмету: Проектирование алгоритмов

Лабораторная работа № 2

Выполнил: Тураев С.С.

Группа: 055-20

Проверил: Кулдашев Х.М.

Ташкент

2023 г.

Лабораторная работа № 2

13-вариант

Численное интегрирование функций

Цель работы: Научиться вычислять интеграл методом прямоугольника, методом трапеции и методом симпсона.

Теоретические пояснения

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и известна ее первообразная F(х), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a  до  b  может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

[pic 1]

[pic 2] — это площадь ограниченная подынтегральной кривой, осью абсцисс и ординатами.

Однако во многих случаях первообразная функция F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле может быть затруднительным или даже практически невыполнимым.

Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x)часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому наиболее удобными методами вычисления определенных интегралов являются численные методы, основанные в вычислении знания определенного интеграла на основания ряда значений подынтегральной функции.

Широко известными алгоритмами такого рода, использующими для приближенного подсчета определенных интегралов, являются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона (парабола).

Все эти методы обеспечивают приближенное вычисление определенных интегралов, поскольку вместо кривой подынтегральной функции используются заменяющие ее кривые или ломанные линии, для которых вычисление граничащей  ими площади производится в соответствии с достаточно простыми формулами.

1. Метод прямоугольников

По методу прямоугольников кривая подынтегральной функции заменяется ломанной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс (рис.1).

[pic 3]

Рис. 1.

Разобьем отрезок интегрирования [а, b] на n равных частей длины h=(b-a)/n . В точках разбиения xo=a1x1=a+h ..xn=b, проведем ординаты у0,у1 . . . уn  до пересечения с кривой y=f(x), т.е. yi = f(xi),     xi = a + ih, i = 0,1,2 … n. Концы ординат соединим прямоугольными отрезками, тогда площадь криволинейного прямоугольника а АBв приближенного можно считать равной площади фигуры, ограниченной ломанной линией аАСDN ... Вв. Площадь этой фигуры, которую обозначим через S , равна сумме площадей прямоугольников