Ляпуновтың екінші әдісі. Ляпуновтың функциялары (функцияның белгісіздігі мен тұрақтылығы туралы түсінік)

7 лекция. Ляпуновтың екінші әдісі. Ляпуновтың функциялары (функцияның белгісіздігі мен тұрақтылығы туралы түсінік)

Мақсаты:

1892 жылы орыс математигі А.М. Ляпунов "қозғалыс тұрақтылығының жалпы міндеті" тақырыбында докторлық диссертациясын қорғады, онда ол тұрақтылықты талдау әдістерін ұсынды. Ляпуновтың бірінші әдісі, әдетте, осы жүйелердің жалпы немесе нақты шешімдерін талдауға негізделген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің тұрақтылығын зерттеу әдістері мен құралдарының жиынтығын білдіреді.

Алайда, дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімін табуды қажет етпейтін Ляпуновтың екінші әдісі (көбінесе Ляпуновтың тікелей әдісі деп те аталады) ең көп таралды.

Әдіс сызықтық емес еркін ретті теңдеулердің шешімдерін талдауды скалярлық дифференциалдық теңсіздік арқылы осы шешімдердің қасиеттерін бағалауға ауыстыру идеясына негізделген. Бұл жағдайда шешімдердің түрі туралы ақпарат жоғалады, бірақ тұрақтылық қасиетін талдаудың қарапайымдылығы алынады, өйткені күй кеңістігіндегі қашықтықтың жүйенің ағымдағы нүктесінен координаттардың басына дейін өзгеруі зерттеледі. Мұндай қашықтықты бағалау ретінде V(x) деп белгіленген күй айнымалыларының скалярлық функциясы қолданылады.

Тұрақты тепе-теңдік жағдайында жүйенің фазалық траекториялары (8.4) уақыт өте келе координаттардың басына қарай тартылатыны түсінікті (сурет. 8.2, а), Бұл жағдайда V ағымдағы нүктеден тепе-теңдік нүктесіне дейінгі арақашықтық азаяды.

Тұрақсыз тепе-теңдік күйі үшін жүйенің фазалық траекториялары (8.4) әр түрлі болады (сурет. 8.2, б), а қашықтық Жәнеуақыт бойынша артады.

Осылайша, Ляпуновтың екінші әдісінің мәні жолдар бойындағы V(x) жүйесінің кейбір күй координаталық функциясының өзгеруін бағалауға дейін азаяды

[pic 1]

Сурет. 8.2. Тұрақты (А) және тұрақсыз (б) жүйелер жағдайында V функциясының өзгеруі торий қарапайымдылық үшін Ляпунов функциясы деп аталатын қозғалыс. Болашақта қолданылатын V(x) функцияларының формальды қасиеттерін талқылайық.

V (x) Функцияларын қарастырайық, анықталған N күй кеңістігінің белгілі бір аймағында үздіксіз D, құрамында координаталар бар және осы аймақта айнымалылар бойынша үздіксіз ішінара туындылар бар X.

Р(х) функциясы d аймағында оң анықталған деп аталады, егер ол осы аймақтағы айнымалылардың кез-келген мәндері үшін оң болса және тек координаттардың басында нөлге айналса, яғни қасиеттер орындалады