Исследование устойчивости системы управления

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Исследование устойчивости системы управления

Цель работы:

- формирование практических навыков и умений оценки устойчивости автоматической системы по годографам и  логарифмическим частотным характеристикам системы.

Задание: 

1) снять переходную функцию системы третьего порядка и ее частотные характеристики: АФХ, ЛАЧХ, ФЧХ.

2) по виду переходной функции определить устойчивость системы;

3) по частотным характеристикам определить запасы устойчивости и  предельный коэффициент передачи.

1 Краткие теоретические сведения о устойчивости линейной автоматической системы

 Устойчивость является необходимым условием нормальной работы любой автоматической системы.

Под устойчивостью понимают способность АС возвращаться в исходное состояние покоя или установившегося движения после прекращения действия причин нарушивших это состояние.

Неустойчивость системы внешне проявляется в виде самопроизвольного движения управляемого объекта, которое может быть как при наличии полезного задающего воздействия, так и при его отсутствии.

В линейной автоматической системе устойчивость характеризуется видом протекания переходного процесса, однако характер ПП в линейной системе не зависит от входного воздействия, а определяется только свойствами, параметрами самой системы.

С физической точки зрения возникновение неустойчивого движения в системе объясняется наличием в ней обратной связи, вследствие этого при определенных амплитудных и фазовых соотношениях входных и выходных сигналов основного контура системы может возникать самовозбуждение, которое и характеризует неустойчивое движение.

При изучении устойчивости автоматической системы в теории управления рассматривают три состояния системы (рисунок 6.1): устойчива, неустойчива, на границе устойчивости [5].

Когда в реальной системе возникают незатухающие колебания с постоянной амплитудой и с постоянной частотой, то говорят, что в автоматической системе возникли автоколебания.

Изучая устойчивость системы, необходимо: во-первых, установить устойчива система, или нет; во-вторых, если система неустойчива, то выяснить какие причины нарушают ее устойчивость и какие меры необходимо принять для обеспечения устойчивости системы.

[pic 1]

Рисунок 6.1 – Состояния автоматической системы

Математические условия  устойчивости. Так как устойчивость линейной автоматической системы определяется характером собственного движения, то для определения математических условий  устойчивости необходимо проанализировать решение однородного дифференциального уравнения системы

[pic 2][pic 3]

Для решения дифференциального уравнения составляется характеристическое уравнение:

[pic 4]                                                  (6.1)

Здесь si – корень характеристического уравнения.

Если все корни уравнения вещественные и комплексно сопряженные (нулевые и кратные корни отсутствуют), то общее решение записывается в виде:

[pic 5]

где si –  корень характеристического уравнения;

     Ci – постоянная интегрирования зависящая от начальных условий.

Для того, чтобы система была устойчивой ее собственное движение (переходной процесс) со временем должно прекращаться, т.е.

[pic 6]                                                                 (6.2)

Это условие называют условием асимптотической устойчивости автоматической системы.