Интерполяционная формула Лагранжа

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Д.09.03.03-САУ-18.ЗЗ/6096-ЛР          Кафедра искусственного интеллекта и системного анализа

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Численные методы»

тема: «Интерполяционная формула Лагранжа»

       Проверил:

       __________ ст.преп. Ю.К. Орлов

         (дата, подпись)

       __________ acc. Е.В. Радевич

         (дата, подпись)

       Выполнил:

       __________ ст.гр. САУ-18 Д.О. Шапошник

       (дата, подпись)

Донецк-2020

Цель работы: изучение метода построения интерполяционного полинома для произвольно расположенных узлов интерполяции, приобретение практических навыков интерполирования функций.

1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотренные 1-я и 2-я интерполяционные формулы Ньютона пригодны лишь в случаях равноотстоящих узлов интерполирования. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются интерполяционной формулой Лагранжа.

Общая задача состоит в следующем. Пусть на отрезке [a;b] даны n+1 различных значений аргумента  и известны для функции y=f(x) соответствующие ; требуется построить полином  степени не выше n, имеющий в заданных узлах  те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что (xi) = , i = [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

При замене функции интерполяционным многочленом Ln(x) погрешность зависит от количества узлов интерполяции. Все интерполяционные многочлены отличаются друг от друга только внешней формой записи и имеют те или иные вычислительные особенности. Если они построены для одной и той же функции и при одних и тех же значениях аргумента, то после выполнения всех преобразований все многочлены обязательно должны быть тождественно равными.

В формулах Ньютона, если требуется, для улучшения приближения многочлена Pn(x) к функции f(x) прибавляются новые узлы, при этом добавляются только новые слагаемые. В формуле Лагранжа в аналогичном случае все слагаемые приходится пересчитывать заново, так как каждый член этой формулы зависит от всех узлов интерполяции.

Все интерполяционные формулы получаются из интерполяционной формулы

Лагранжа при соответствующем выборе узлов.

1.1 ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

Построим сначала многочлен Pn(x), принимающий в точке x=значение , а во всех остальных точках x= значения :           [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Аналогично построим многочлен Pn(xi), принимающий в точке xi значение уi, а во всех остальных точках x=x1, x=x2, ..., x=xi-1, x=xi+1,....., x=xn значения    

 . (1)[pic 13]

И, наконец, построим многочлен, принимающий в точках х=xi (i=0,n ) заданные значения Pn(xi)=уi. Он будет равен сумме:

[pic 14]

 (2)[pic 15]

Полученная формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Она предназначена для непосредственного построения интерполяционного многочлена. Коэффициенты  в этой формуле называются коэффициентом Лагранжа. Для вычисления коэффициентов Лагранжа может быть использована приведенная ниже схема. В таблице разности xi-xj располагаются следующим образом:[pic 16]

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй через D1 и т.д. (Di, i= ), а произведение элементов главной диагонали (элементы подчеркнуты) через Пn+1. Отсюда следует, что:[pic 17]