Численные методы Гаусса

Задание 1

Решить следующую систему методом Гаусса. АХ = b. Где:

[pic 1]

Найти [pic 2]

Решение

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система уравнений:

[pic 3]

При решении методом Гаусса система приводится к ступенчатому виду:

[pic 4]

Для решения уравнения методом Гаусса необходимо знать, как выполняются элементарные преобразования систем линейных уравнений. Таких преобразований имеется четыре типа:

1. Умножение обеих частей уравнения на любое ненулевое число.

2. Перестановка уравнений системы местами.

3. Добавление (или вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженного на любое ненулевое число.

4. Удаление нулевых строк.

Общие зависимости прямого хода для расширенной матрицы:

Ведущее уравнение не изменяется.

Для последующих уравнений        [pic 5] , i = k + 1,…, n;   j = k + 1,..., n.

Обратный ход начинается с вычисления последнего неизвестного системы линейных уравнений и заканчивается вычислением первого неизвестного. При обратном ходе используются только строки прямого хода.

Формулы обратного хода для полученной матрицы  [pic 6] 

 i = n – 1,…,1

Запишем расширенную матрицу:

[pic 7]

Прямой ход:

Выполняем первый шаг:

Первую строку умножаем на (-1).

Из второй строки, умноженной на 2, вычитаем первую строку, умноженную на 3.

К третьей строке, умноженной на 2, прибавляем первую строку, умноженную на 5.

Из четвертой строки, умноженной на 2, вычитаем первую строку, умноженную на 4.

Получим расширенную матрицу.

[pic 8]

Выполняем второй шаг:

Умножаем третью строку на (-1) и меняем со второй строкой.

Делим четвертую строку на 2.

Получим расширенную матрицу.

[pic 9]

Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3.

Из четвертой строки вычитаем вторую строку.

Получим расширенную матрицу.

[pic 10]

Выполняем третий шаг:

Умножаем третью строку на (-0.05)

К четвертой строке прибавляем третью строку.

Получим расширенную матрицу.

[pic 11]

Прямой ход окончен.

Выполняем обратный ход:

[pic 12]

Получено решение:

[pic 13]

Проверка в MathCAD:

[pic 14]

Вывод: решение методом Гаусса найдено верно.

Задание 2

Решить следующую систему методом прогонки. АХ = b. Где: