Хаар жүйесі бойынша Фурье коэффициенттерін бағалау

1.   Хаар жүйесі бойынша Фурье коэффициенттерін бағалау

[pic 1] функцияның Хаар жүйесі бойынша Фурье коэфициенттеріне бағалау келтіреміз.

Теорема-1. Айталық [pic 2] [pic 3]- кесіндісінде өлшемді функция болсын, онда келесі теңсіздіктер орындалады:

1)  егер [pic 4], онда

[pic 5]                               (1.2.1)

2)  егер [pic 6] барлық [pic 7], онда

[pic 8]                                       (1.2.2)

3)  егер [pic 9], онда

[pic 10]                              (1.2.3)

1. егер [pic 11], онда

[pic 12]                               (1.2.4)

және

[pic 13]                                 [pic 14]

Сонымен қатар егер [pic 15] келесі теңсіздік орынды:

[pic 16]                       [pic 17]

1. егер [pic 18], онда

[pic 19]                                    (1.2.5)

және

[pic 20]                                       [pic 21]

                Дәлелдеуі: [pic 22] мұндағы [pic 23] болғандықтан [pic 24] үшін

[pic 25]

[pic 26]                (1.2.6)

Сондыықтан

[pic 27]                                   (1.2.7)

(1.2.2) теңсіздігі [pic 28] болғанда көрініп тұр, ал [pic 29] болса, онда

[pic 30]                                          (1.2.8)

сондықтан

[pic 31]

яғни  (1.2.2) теңсіздік барлық [pic 32] болғанда орынды.

        Айталық [pic 33] және [pic 34] болсын. Онда (1.2.7) және (1.2.8) теңсіздіктерін пайдалана отырып келесіні аламыз

[pic 35]

олай болса (1.2.3) теңсіздік орындалады.

        Егер де [pic 36] болса, онда (1.2.6) және (1.2.7) өрнектерінен

[pic 37]

[pic 38]

бұл (1.2.4) теңсіздігінің дұрыстығын көрсетеді.

        Егер [pic 39] ескерсек [pic 40] - теңсіздігі (1.2.4) -теңсіздігінің салдары болады.

        Егер [pic 41] болса, онда (1.2.4) және (1.2.5) теңсіздіктерінен мынау шығады

[pic 42]

Сонымен (1.2.5) теңсіздігі орындалады. [pic 43] пен (1.2.8)-дің салдары.

        Айталық [pic 44] болсын. Онда егер [pic 45] болса (1.2.4) теңсіздігінен (1.2.8)-ді пайдалансақ шығатыны

[pic 46]

яғни (1.2.1) теңсіздік [pic 47] болғанда орындалады.

        Егер де [pic 48] болса, онда Гельдер теңсіздігін пайдаланып мынаны аламыз:

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Бірақ кез-келген [pic 52] және [pic 53] келесі теңсздік орындалады [pic 54] сондықтан [pic 55], бұл (1.2.1) теңсіздігінің дұрыстығын көрсетеді яғни теорема-1 дәлелденді.

        Солдар – 1. Егер [pic 56] болса, онда

[pic 57]                                  (1.2.9)

Сонымен қатар бұл бағалауда [pic 58]-ны [pic 59]-мен алмастыруға болмайды.

1. бағалауының дұрыстығын (1.2.2) теңсіздігінен шығады. Егер [pic 60] функциясын былай алсақ

[pic 61]

онда [pic 62] үшін

[pic 63]

яғни шексіз көп [pic 64]-үшін мынау орындалады:

[pic 65]

алайда [pic 66] болғанда [pic 67] болады.

        Салдар – 2. Егер [pic 68] болса, онда

[pic 69]                             (1.2.10)

Бұл бағалау реті бойынша барлық нақтыланған [pic 70] үшін жақсартылмайды.

1. қатынасы – (1.2.1) және (1.2.3) теңсіздіктерінің салдары екені

көрініп тұр.

        Айталық [pic 71]-қандай да бір [pic 72] нақтыланған сан. [pic 73] [pic 74] оң функция табылады, қандайда бір [pic 75] болғанда мына теңдеу орындалса