Функцияның шегінің анықтамасы. Біржақты шектер

Функцияның шегінің анықтамасы. Біржақты шектер. Функция шектері жайлы теоремалар. Бірінші тамаша шек. Күрделі функцияның шегі. Екінші тамаша шек. 

1. Функцияның шегінің анықтамасы.

2. Функцияның үзіліссіздігі.

1. Функцияның шегінің анықтамасы.

 «Функцияның шегі мен үзіліссіздігі» тақырыбын ойлау қабілеттері дамыған жоғарғы сынып оқушыларына түсіндіргенмен, бұл ұғымдарды ғылыми қалыптастыру ерекше әдістемелік шеберлікті қажет етеді.

        Функцияның шегі мен үзіліссіздігі ұғымдары абстрактілі. Функцияның үзіліссіздігін оқыту нақты мысалдар қарастырудан басталады. Үзіліссіз және үзілісі бар әртүрлі функциялардың графиктері көрсетіледі.

                Функцияның шегі мен үзіліссіздігінің анықтамалары көрнекі графиктік кескіндеудің көмегімен беріледі. Функцияның үзіліссіздігін шектің ұғымын пайдаланбай, одан бұрын беруге болады. Кейде керісінше алдымен шек ұғымы енгізіледі. Әрине, әрбір жағдайдың артықшылығы да кемшілігі де бар. Солай болғанмен үзіліссіздікті функцияның шегінен кейін оқытқан ұтымды болады. Бұл ұғымдарды бір-бірінен ұзақ уақыт алшақтатпай оқытқан жөн.

               Функцияның шегінің анықтамасын берер алдында оқушылармен бірнеше мысал қарастырылады. Алдымен сызықтық функцияның шегінен бастап, кейін күрделі функцияларды қарастыру арқылы бекітіледі.

                1 м ы с а л. f (х) = х[pic 1] функциясын х = 3 нүктесінің [pic 2]аймағында (3-[pic 3],3+[pic 4]) қарастырайық.  Бұл функция барлық сандар осінде анықталған. Таблица құрамыз:

         Келтірілген таблицадан х-тің мәні 3-ке жақындаған сайын f (х) функциясының мәні 9 санына ұмтылғанын көріп тұрмыз. х аргументінің мәнін 3 нүктесінің [pic 5] аймағынан алғанда f (х) функциясы 9 санының [pic 6] аймағындағы мәнді қабылдайды (мұндағы[pic 7]- мейлінше аз, кезкелген оң сан). 0 < Iх - 3I < [pic 8] теңсіздігін қанағаттандыратын х мәндері үшін  Iх[pic 9]- 9I = Ix-3IIx+3I< [pic 10](6+[pic 11]). Енді [pic 12](6+[pic 13]) < [pic 14] болатындай 1>[pic 15]>0 таңдап алсақ, мысалы  [pic 16] < [pic 17], 0 < Iх - 3I < [pic 18] болғанда,  Iх[pic 19]- 9I < [pic 20] теңсіздігі орындалады. Бұл жағдайда f(х) функциясының х = 3 нүктесіндегі шегі 9 саны, ол былай жазылады:

            [pic 21] 

Функцияның шегінің анықтамасы:

Егер алдын ала берілген ε • 0 саны үшін δ • 0 саны табылып, функцияның анықталу облысындағы х тің   а  - дан ерекше барлық мәндері үшін |х - a| • δ болғанда |f(х) - А| • ε теңсіздігі орындалса,  А саны х  а - ға ұмтылғандағы  f(х) функциясының шегі деп аталады да былай жазылады:  [pic 22]

Бұл анықтамада f(х) функциясының а нүктесінде анықталған болуы талап етілмейді. f(х) функция х→а ұмтылғанда шекке ұмтылу үшін оның анықталу облысында  а - ға жақын, а - дан ерекше нүктелер болу қажет.