Тәуелсіз тәжірибелердің тізбегі

№ 5. Дәріс тақырыбы: Тәуелсіз тәжірибелердің тізбегі.

Жоспары.

1. Бернулли схемасы.
2. Ең үлкен сан және ең үлкен ықтималдықтар.
3. Пуассон формуласы.
4. Қалыпты үлестірім функциясы.

Бернулли схемасы. Екі ғана натижесі бар тәжирбелер қарастырамыз. Мысалы теңге лақтыру, бұйымның жарамдығын тексеру және тағы басқа. Бұл нәтижелерді «А оқиғасы пайда болады» және «А оқиғасы пайда болады» деп атаймыз да бұларды белгілегенде А және А таңбаларын қолданамыз. А және А оқиғаларның ықтималдығы Р(А)=Р  Р(А)=q  бір тәжирбеден екінші тәжирбеге көшкенде өзгермей қалады деп ұғамыз. Тағы бір қоятын шартымыз:

Тәжирбелер тәуелсіз жүргізілуі керек, бірнеше тәжирбелердің натижелері тәуелсіз оқиғалар болуы керек. Міне осындай шарттар орындалғанда Бернулли схемасы орындалады, ал тәжирбелердің өздерін Бернулли тажирбесі деп атайды.

Әрбір тажирбе жүргізгенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р-ға тең болсын. n рет тажирбе жүргіземіз А оқиғасы m рет пайда болу ықтималдығын табу керек.

Бұл ықтималдықты Рn(m) арқлы белгілелік ізделінді ықтималдық үшін Рn(m) =Cnm Pmqһ-m   формуланы биологиялық деп атайды.

Дәлелдеу: Бір-біріне тәуелсіз n рет тәжирбе жүргізгенде А мен А әріптерінің жиынтығы шығады және А әріпі m рет, А әріпі n-m рет кездеседі. Мұндай жиынтықтардың саны Cnm =[pic 1] жүргізілген тәжирбелер тәуелсіз болғандықтан осындай бір жиынтыққа рm qn-m ықтималдығы сай келеді. Р([pic 2] [pic 3])= [pic 4] [pic 5] = рm qn-m[pic 6]

Мысалы:

Семьяда 5 бала бар. Ер бала мен қыз баланың туу ықтималдықтарын бірдей деп алып (шынында дүние жүзілік статсистика бойынша бұл ықтималдықтар әр түрлі: ұл бала туу ықтималдығы шамамен 0.52-ге тең), семьяда 2 ер бала болу ықтималдығын табу керек.

Ш: Тәжирбенің нәтижесі екеу: ер бала (А оқиғасы) қыз бала (А оқиғасы) Есептің шарты бойынша Р(А) =0.5,   Р(А)=0.5  Барлық тәжирбе саны n=5  А оқиғасының пайда болу саны m=2 (1) формуланы қолдансақ  Р5 (2)=С52·(0.5)5=0,3125, С52·0,52·0,53=С52·0,55=0,3125  2.

Батерея нысанаға 6 рет оқ атқан әрбір оқ атқанда тию ықтималдығы [pic 7]-ге тең  болған. Көзделген нысана запқымдалу үшін кем дегенде төрт оқ тиіуі керек. Нысананың запқымдалу ықтималдығы қандай?

Ш: В арқылы батереядан 6 рет оқ атқанда нысананың запқымдалу оқиғасын белгілейік. Егер Р0(m)  6  рет оқ атқанда m рет нысанаға оқ тию ықтималдығы болса, онда (1) формуласы бойынша Р0(m)=C6mрm q6-m,  p=[pic 8],  q=[pic 9] ықтималдыққа қосу теоремасын қолдансақ, P(B)=P6+P6(5)+P6(6). P(B)=[pic 10]

Ескерту. n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының пайда болу саны m1 мен m2-нің  арасында жату ықтималдығы [pic 11] қосындысына тең. Бұл ықтималдық үшін P(m1<m<m2) белгілеуін енгізелік. [pic 12]