Треугольник Паскаля и Бином Ньютона

Министерство науки и высшего образования РФ

ФГБОУ ВО «Удмуртский государственный университет»

Институт математики, информационных технологий и физики

Кафедра математического анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

НА ТЕМУ «Треугольник Паскаля и Бином Ньютона»

Выполнил студент:

Ижболдин Серафим Станиславович

направления подготовки

Математика и компьютерные науки

группы ОБ-02.03.01.00-11

Научный руководитель:

Латыпова Наталья Владимировна

Итоговая оценка по курсовой работе                                         

оценка, подпись руководителя

Ижевск 2022 г.

Содержание

Введение        3

Бином Ньютона        4

Свойства биномиальных коэффициентов        7

Треугольник Паскаля        9

Свойства треугольника Паскаля и биномиальных коэффициентов        10

Решение задач по комбинаторике с помощью треугольника Паскаля.        14

Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.        16

Применение формулы бинома Ньютона к приближенным  вычислениям        17

Заключение        19

Список использованных источников        20

Введение

Целью написания данной курсовой работы является ознакомление с треугольником Паскаля, его свойствами, и связью с Биномом Ньютона.

Задачи  исследования:
- изучение литературы по теме «Треугольник Паскаля» и «Бином Ньютона»;
- ознакомление с построением треугольника Паскаля;
- выявить свойства, которые имеет треугольник Паскаля и Бином Ньютона;
- изучение комбинаторных приложений, а именно: биномиальные коэффициенты

- обобщить формулы сокращенного умножения, показать их применение к решению задач

-привести примеры задач на применение бинома Ньютона и формул суммы и разности степеней.

 Объекты исследования: бином Ньютона, формулы суммы и разности степеней, треугольник Паскаля и его свойства.

Бином Ньютона

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формула для квадрата двучлена

(а + b)2 = = а2 + 2ab + b2

Её знали,  еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.

 Если умножить обе части этой формулы на (а + b) и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)3 = (а2 + 2ab + b2)(а + b) =  а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3,

                т. е. (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Аналогичный шаг может привести  к следующей  формуле:

                        (а + b)4 = а4 + 4а3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 .

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при a3b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a2b и а3. Аналогично, коэффициент 6 при a2b2 является суммой (3 + 3) коэффициентов при ab2 и a2b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab3.

Таким образом, коэффициент С kn при аn-k bk в разложении (а + b)n равен сумме коэффициентов Ck-1 n-1  и Ck n-1  при аn-k bk-1 и при аn-k-1 bk разложении.

 (а + b)n-1, а коэффициенты   при   аn  и   при   bn равны   единице. Отсюда   следует,   что   коэффициенты   С kn в равенстве: