Треугольник Паскаля: его свойства и приложения

[pic 1]

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ

  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «ЮУрГГПУ»)

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Треугольник Паскаля: его свойства и приложения

Выполнила студентка:

Соловьева О.В.

факультет МФИ группа ОФ-313/204-5-1

Научный руководитель: Севостьянова С. А.

К. п. н. доцент кафедры математики

и методики обучения математике

Дата сдачи:

Дата защиты:

Оценка:

Подпись руководителя:

Челябинск

2021

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ        3

ГЛАВА 1. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ И ЕГО СВОЙСТВА        4

1.1 Некоторые исторические сведения о треугольнике Паскаля        4

1.2 Построение треугольника Паскаля        7

1.3 Замечательные свойства треугольника Паскаля        9

1.4 Операция Паскаля        13

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ        19

2.1 Решение задач по комбинаторике с помощью треугольника        19

Паскаля        19

2.2 Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов        22

2.3 Задача на нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля        23

2.4 Решение задач по теории вероятностей с помощью треугольника Паскаля        23

2.5 Некоторые олимпиадные задачи        25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        30

Список литературы:        31

КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ        32

1. Биномиальные коэффициенты        32

2. Связь с факториалами        34

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе будет рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами. Она позволяет выявить, насколько широко может применяться треугольник Паскаля в практической жизни и повысить навыки решения задач с применением треугольника Паскаля, которые могут помочь в рамках изучения школьного курса математики. Треугольник Паскаля является одной из наиболее известных числовых схем во всей математике.

Цель исследования: изучение свойств треугольника Паскаля и их применение в решении различных задач.

Предмет исследования: треугольник Паскаля.

Задачи:

1. Ознакомиться с некоторыми историческими сведениями о треугольнике Паскаля;
2. Рассмотреть некоторые олимпиадные задачи;
3. Построение треугольника Паскаля;
4. Изучить комбинаторные приложения треугольника Паскаля.

        Методы исследования: аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой.

Курсовая работа состоит из введения, двух разделов, выводов по разделам, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ И ЕГО СВОЙСТВА

1.1 Некоторые исторические сведения о треугольнике Паскаля

Способ образования треугольника Паскаля можно было бы задать и не прибегая к понятиям «закон Паскаля» или «строка Паскаля»: треугольник Паскаля – это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается, как сумма двух предшествующих чисел. В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 году уже после смерти автора. Более точно, в указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число  равно сумме предшествующего числа в том же, что и , горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и , вертикальном ряду.[pic 2][pic 3][pic 4]