Производные высших порядков. Правило Лопиталя

Лекция 11. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Исследование функции с помощью производной.

[pic 1]

[pic 2]

Правило Лопиталя

[pic 3]

[pic 4]

При других неопределенностях:

[pic 5]

значений E(y)функции.

1. Четность, нечетность функции.

1. Точки пересечения с осями.

1. Асимптоты функции.

1. Экстремумы и интервалы монотонности.

1. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

1. Сводная таблица.

Точки перегиба функции. Алгоритм нахождения точек перегиба.

График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (  ;   ), является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала (  ;   ) лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции y=f(x) дифференцируемой на интервале (  ;   ), является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала (  ;   ) лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

[pic 6]

Теорема Пусть функция y=f(x) определена на интервале (  ;   ) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке 0 ∈ (  ;   ) вторую производную. Тогда, если f′′(x)>0всюду на интервале (  ;   ), то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f′′(x)<0, то функция имеет выпуклость.

Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка   (  1; ( 1)) разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

[pic 7]

Теорема. (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция y=f(x) имеет перегиб в точке   (  1; ( 1)), то f ( x1 ) 0 или не существует.

Теорема. (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная  f  ( x )  непрерывна в окрестности точки  1;

1. вторая производная  f  ( x1 )    0  или не существует в точке  1;;

1. f   ( x ) при переходе через точку  1 меняет свой знак,

тогда в точке   (  1;        ( 1)) функция y=f(x) имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.

1. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

1. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

[pic 8]

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции

...