Твердження 3 (теорема Келі)

Твердження 3 (теорема Келі). Кожна скінченна група порядку n

ізоморфна деякій підгрупі H симетричної групи Sn .

Приклад 2. З’ясувати, чи будуть ізоморфними групи D6 , A4 , Z12 , C6 ,

∗

Z7 , S3 .

Нагадаємо, що D6 – група симетрій правильного шестикутника (шість

симетрій + шість поворотів),

A4 – група парних підстановок з 4-х елементів (12 парних підстановок),

Z12 – адитивна група кільця лишків за модулем 12 (порядок 12),

o a0 a1 a2 a3 a4 a5

a0 a0 a1 a2 a3 a4 a5

a1 a1 a0 a4 a5 a2 a3

a2 a2 a5 a0 a4 a3 a1

a3 a3 a4 a5 a0 a1 a2

a4 a4 a3 a1 a2 a5 a0

a5 a5 a2 a3 a1 a0 a4

o b0 b1 b2 b3 b4 b5

b0 b0 b1 b2 b3 b4 b5

b1 b1 b0 b4 b5 b2 b3

b2 b2 b5 b0 b4 b3 b1

b3 b3 b4 b5 b0 b1 b2

b4 b4 b3 b1 b2 b5 b0

b5 b5 b2 b3 b1 b0 b4

32

C6 – група поворотів правильного шестикутника (шість поворотів на кути,

кратні 60o , відносно центра шестикутника),Z7 – мультиплікативна група кільця лишків за модулем 7 (містить 6

елементів),

S3 – симетрична група степеня 3 (шість підстановок).

Оскільки порядки ізоморфних груп однакові, то жодна з перших трьох

груп не може бути ізоморфною жодній з трьох останніх груп. Далі, в

ізоморфних групах кількість елементів даного порядку однакова, тому

D6 ≅/ A4 , оскільки D6 має сім елементів