Случайные события

Письменная аттестационная работа.

Часть 1.  Тема: Случайные события.

Задание 1.        

1.2. ЕГЭ проводится по 14 предметам, из которых 2 обязательных. Сколькими способами школьник может выбрать предметы для сдачи ЕГЭ, если не допускается сдача более чем 7 предметов?

Итак, у школьника есть 14 предметов, из которых он должен выбрать 2 обязательных и не более 7 дополнительных предметов.

 1. Выбор 2 обязательных предметов можно сделать 14 способами (так как обязательные предметы можно выбрать из любых 14).

 2. Далее, школьник должен выбрать от 0 до 7 дополнительных предметов из оставшихся 12 (после выбора обязательных).

Это можно сделать следующим образом: - 0 дополнительных предметов: 120 = 1 способ - 1 дополнительный предмет: 121 = 12 способов - 2 дополнительных предмета: 122 способов - ... - 7 дополнительных предметов: 127 способов

Таким образом, общее количество способов выбрать предметы для сдачи ЕГЭ равно: 14 ·( 120 + 121 + 122 + … + 127) =13832

Задание 2.

2.2. В кармане имеется 12 монет достоинством 10 и 50 коп. (на ощупь

неразличимых). Известно, что десятикопеечных втрое больше, чем

пятидесятикопеечных. Какова вероятность того, что среди трех вынутых монет пятидесятикопеечных окажется не меньше десятикопеечных монет.

Пусть событие A - "среди трех вынутых монет пятидесятикопеечных окажется не меньше десятикопеечных монет".

Из условия задачи известно, что количество десятикопеечных монет втрое меньше, чем количество пятидесятикопеечных.

 Пусть количество десятикопеечных монет равно x, тогда количество пятидесятикопеечных монет равно 3x.

Таким образом, у нас есть x десятикопеечных монет и 3x пятидесятикопеечных монет, всего 4x монет.

Чтобы событие A произошло, нам нужно выбрать хотя бы одну десятикопеечную монету из трех вынутых.

Рассмотрим несколько возможных случаев:

1. Выбрана 1 десятикопеечная и 2 пятидесятикопеечные монеты.

 2. Выбраны 2 десятикопеечные и 1 пятидесятикопеечная монеты.

3. Выбраны 3 десятикопеечные монеты.

 Теперь посчитаем вероятность каждого из этих случаев:

 1. Вероятность выбора 1 десятикопеечной и 2 пятидесятикопеечных монет:

 - Способы выбрать 1 десятикопеечную из x: C(x,1)

 - Способы выбрать 2 пятидесятикопеечные из 3x: C(3x,2)

- Общее число способов выбрать 3 монет из 4x: C(4x,3)

2. Вероятность выбора 2 десятикопеечных и 1 пятидесятикопеечной монеты:

- Способы выбрать 2 десятикопеечные из x: C(x,2)

- Способы выбрать 1 пятидесятикопеечную из 3x: C(3x,1)

- Общее число способов выбрать 3 монет из 4x: C(4x,3)

3. Вероятность выбора 3 десятикопеечных монет:

 - Способы выбрать 3 десятикопеечные из x: C(x,3)

- Общее число способов выбрать 3 монет из 4x: C(4x,3)

Теперь сложим вероятности каждого из этих случаев, чтобы получить общую вероятность события A.

Общая вероятность события A = (1/4) * ((3x*(3x-1))/(4x*(4x-1))) + ((x*(x-1))/(4x*(4x-1))) * (3/4) + (1/4)

Задание  3.

Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку равна p. Аудитор проверяет n  фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку:

а) ровно в m фирмах;

б) менее чем в k фирмах:

в) не более чем в l фирмах;

Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку равна p=0,5. Аудитор проверяет n=9  фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку: