Случайные величины
Автор: Clemer • Июль 4, 2023 • Контрольная работа • 613 Слов (3 Страниц) • 155 Просмотры
Контрольная работа №3 по теме «Случайные величины»
Вариант 13.- порядковый номер в списке.
Задача 1 Производят n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью р. Х – число появлений события А в п испытаниях. Требуется:
- для случая а) найти закон распределения, функцию распределения Х, построить ее график, найти М(Х), D(X), P(X < 2);
- для случая б) найти P(X < 2);
- для случая в) найти вероятности P(Х=k1), P(X = k2), P(k1 < X < k2).
Случай a) | Случай б) | Случай в) |
n = 5 | n = 500 | n = 400, k1 = 300 |
p = 0,3 | p = 0,003 | p = 0,8, k2 = 330 |
Решение.
а) Пусть п=5, р=0,3, Х - число успехов в 5 испытаниях. Х может принимать значения:0,1,2,3,4,5.
Применим формулу Бернулли:
[pic 1]
[pic 2].
[pic 3].
[pic 4].
[pic 5]
[pic 6],
[pic 7].
Закон распределения случайной величины Х:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
р | 0,132 | 0,329 | 0,329 | 0,165 | 0,041 | 0,004 |
Функция распределения: [pic 8].
при [pic 9] [pic 10];
при [pic 11] [pic 12];
при [pic 13] [pic 14];
при [pic 15] [pic 16];
при [pic 17] [pic 18];
при [pic 19] [pic 20];
при [pic 21] [pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Математическое ожидание случайной величины:
[pic 25]
Дисперсия случайной величины:
[pic 26]
P(X < 2)= 0,132+0,329=0,461
2) п=50,р=0,003,пр=0,15.
По формуле Пуассона [pic 27]
в) п=400, р=0,8,q=0,2, к1=300, к2=330
Применим локальную теорему Лапласа:
[pic 28], где [pic 29],
[pic 30] - по таблице, [pic 31]
[pic 32], где [pic 33],
[pic 34] - по таблице, [pic 35]
Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.
[pic 36],
где [pic 37], [pic 38].
[pic 39].
Задача 2.
Масса груза – случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а=59 и средним квадратическим отклонением σ=5.
Найти: а) вероятность того, что масса наудачу взятого груза будет заключена в пределах от х1=50 до х2=60, б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х-а окажется меньше δ=10; в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы массы груза.
Решение.
а) Находим:[pic 40],
Значения Ф(0,2)=0,0793, Ф(-1,8)=-Ф(1,8)=-0,4649 найдем по таблице, получим: [pic 41].
б) [pic 42].
в) По правилу трех сигм все значения массы груза находятся в интервале [pic 43], т.е. [pic 44].
Наименьшая граница массы груза - 44, наибольшая - 74.
Задача 3.
Время ожидания автобуса – случайная величина Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [2;5+N]. Найти вероятность, что время ожидания автобуса будет заключена в пределах от 2 до 7, б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Хот ее математического ожидания окажется меньше 2; в) вероятность, что время ожидания автобуса будет больше 5.
...