Контрольная работа по "Случайным величинам"

Задача 1.6. Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 даёт 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо № 3 – 1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и кольца № 2 и № 3 соответственно равны: 0,5; 0,3; 0,2. Составить ряд распределения суммы выбитых очков в результате трёх попаданий.

 Р ешен и е.

Пусть Х – случайная величина – сумма выбитых очков в результате трёх попаданий. Х может принимать значения 3, 7, 11, 12, 15, 16, 20, 21, 25,30. Найдём вероятности, соответствующие каждому из значений случайной величины.

Х=3 – три раза попали в кольцо № 3.

P(X = 3)= (0,2)3 = 0,008;

Х=7 – два раза в кольцо № 3 и один раз в кольцо № 2.

P(X = 7)= 3⋅(0,2)2 ⋅ 0,3 = 0,036 ;

Х=11- два раза в кольцо № 2 и один раз в кольцо № 3.

P(X = 11) = 3⋅ 0,2 ⋅ (0,3)2 = 0,054 ;

Х=12- два раза в кольцо № 3 и один раз в круг № 1.

P(X = 12) = 3⋅(0,2)2 ⋅ 0,5 = 0,06 ; Х=15- три раза в кольцо № 2. P(X = 15) = (0,3)3 = 0,027 ;

Х=16- по разу в каждое из колец и в круг.

P(X = 16) = 6 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3⋅ 0,5 = 0,18 ;

Х=20- два раза в кольцо № 2 и один раз в круг № 1.

P(X = 20) = 3⋅(0,3)2 ⋅ 0,5 = 0,135 ;

Х=21 – два раза в круг № 1 и один раз в кольцо № 3.

P(X = 21) = 3⋅(0,5)2 ⋅ 0,2 = 0,15 ;

Х=25 – два раза в круг № 1 и один раз в кольцо № 2.

P(X = 25) = 3⋅(0,5)2 ⋅ 0,3 = 0,225 ; Х=30 – три раза попали круг № 1. P(X = 3) = (0,5)3 = 0,125 ;

Таким образом, ряд распределения числа выбитых очков имеет вид:

10

Проверка: ∑ pi  = 0,008 + 0,036 + 0,054 + 0,06 + 0,027+,0,18 + 0,135 + 0,15 + 0,225 + 0,125 = 1 .

i=1

Задача 2.6. Задан ряд распределения случайной величины Х.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить функцию распределения.

 Р ешен и е.

4

M (x) = ∑xi6,8 pi  = 2 ⋅ 0,1+ 4 ⋅ 0,3 + 8⋅ 0,3 +10 ⋅ 0,3 = 6,8 - математическое ожидание;

i=1

4

M (x2 ) = ∑x2 p

= 4 ⋅ 0,1+16 ⋅ 0,3 + 64 ⋅ 0,3 +100 ⋅ 0,3 = 54,4 ;

i        i