Сложение и вычитание в системах счисления

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Лабораторная

Лабораторная работа №1

Тема: «Сложение и вычитание в системах счисления»

Цель работы: получить навыки по преобразованию числовых данных в различные системы счисления, а также по их сложению и вычитанию.

Методические указания

Система счисления (с/с) – символический метод записи чисел. Наиболее распространенными позиционными системами являются:

- двоичная;

- троичная;

- восьмеричная;

- десятичная (используется повсеместно);

- двенадцатеричная;

- шестнадцатеричная;

- двадцатеричная;

- шестидесятеричная.

В программировании и информатике используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная с/с.

В двоичной системе счисления используется две цифры: 0 и 1.

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Она используется в ЭВМ, как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).

В шестнадцатеричной с/с применяются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а остальные шесть цифр латинскими буквами:

10 – A,

11 – B,

12 – C,

13 – D,

14 – E,

15 – F.

Для представления одной цифры шестнадцатеричной с/с используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 1).

Таблица 1 – Наиболее важные системы счисления

[pic 1]

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Преобразование целых десятичных чисел в недесятичную систему с/с осуществляется последовательным делением целой части десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится. Деление производится до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Остатки, полученные от деления и будут цифрами нового числа, которое записывается справа налево.

Например, переведём число 19 в двоичную с/с

[pic 2]

Т.о. 1910=100112

[pic 3]

Т.о. 57110=10738

[pic 4]

Т.о. 746710=1D2B16

        Для обратного преобразования в десятичную с/с, используется формула 1:

(an-1an-2…a1a0)2=[pic 5]

где n – количество цифр в числе, ak – цифры из множества {0,1}, k – разряд.

        Например, 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510

2548 = 2*82 + 5*81 + 4*80 = 128+40+4 = 17210

4F516=4*162+15*161+5*160=1024+240+5=126910

Сложение и вычитание в различных с/с

Сложение в двоичной с/с происходит согласно следующих правил:

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10 (единица переносится в старший разряд).

Вычитание двоичных чисел: 0-0=0; 1-0=1; 1-1=0; 0-1=1 (заем из старшего разряда).

Общее правило вычитания в различных с/с: если цифра в каком-то разряде вычитаемого больше цифры в разряде уменьшаемого, то необходим заём единицы из старшего разряда. Эта единица равна 2, 8 или 16 единицам в рассматриваемом разряде, в соответствии с с/с.

Например: 11010                                  11010

                + 1101                                 -  1101[pic 6][pic 7]

               100111                                     1101  

Сложение в 8-й с/с: если сумма в каком-то разряде получается больше 7, то в этом разряде записывается количество единиц, превышающих 8, а к следующему разряду (более старшему) добавляется 1. Значения суммирования представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Значения, полученные при суммировании в 8-й с/с

Пример:  20472                                  20472