Решение систем линейных уравнений
Автор: Evgenia_05 • Март 19, 2026 • Лабораторная работа • 1,089 Слов (5 Страниц) • 6 Просмотры
Лабораторная работа № 1
1. Решение систем линейных уравнений
Для решения линейной системы уравнений вида
[pic 1]
можно воспользоваться программой LibreOffice Calc. Для этого нужно в ячейки таблицы разместить элементы матрицы и столбец правой части . Рассмотрим несколько методов решения этой системы.[pic 2][pic 3]
а) Метод обратной матрицы. Покажем этот метод на примере решения следующей системы уравнений
[pic 4]
Вводим элементы матрицы и правой части в ячейки таблицы
[pic 5]
Ставим курсор в нужное место и открываем выбор функции Вставка->Функция. Затем выбираем функцию МОБР и нажимаем на кнопку «Далее». После этого указываем матрицу в виде диапазона
[pic 6]
После нажимаем «ОК» и получаем обратную матрицу
[pic 7]
Остается умножить полученную матрицу на столбец правой части. Делается это аналогично вычислению обратной матрицы с помощь функции МУМНОЖ:
[pic 8]
б) Метод Крамера. Воспользуемся формулами
,[pic 9]
где – определитель матрицы системы уравнений и – определитель матрицы, получаемой из исходной матрицы путем замены i-го столбца вектором b. Покажем на предыдущем примере. Составим дополнительные три матрицы[pic 10][pic 11]
[pic 12]
Вычисление определителей осуществляется с помощью функции МОПРЕД
[pic 13]
2. Метод наименьших квадратов (линейная регрессия). Одной из распространенных задач в науке и технике, экономике является аппроксимация экспериментальных данных аналитическими выражениями.
Рассмотрим следующую математическую задачу. Известны значения некоторой функции , занесенные в таблицу [pic 14]
[pic 15] | [pic 16] | [pic 17] | ... | [pic 18] |
[pic 19] | [pic 20] | [pic 21] | ... | [pic 22] |
Необходимо построить аналитическую зависимость , наиболее близко описывающую результаты эксперимента Построим функцию , таким образом чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений от расчетных была наименьшей[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
В случае когда функция линейная, задача поиска функциональной зависимости ставится так[pic 28]
[pic 29]
Приравнивая к нулю производные , , приходим к системе уравнений относительно и [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Найденная таким образом прямая называется линией регрессии, и называются коэффициентами регрессии. Для нахождения коэффициентов регрессии в пакете LibreOffice Calc имеется функция ЛИНЕЙН. Если нужно кроме того выполнить вычисления для некоторых значений переменной , можно воспользоваться функцией ПРЕДСКАЗ.ЛИНЕЙН. [pic 36][pic 37][pic 38]
Для иллюстрации рассмотренного метода рассмотрим пример линейной регрессии в задаче выявления зависимости стоимости квартир от их площади. Опираться будем на следующие данные
Площадь, кв. м | Стоимость, млн. руб. |
34 | 1,3 |
40 | 2,9 |
59 | 3,0 |
80 | 6,5 |
Заносим данные в таблицу и курсор ставим в то место, в котором хотим отобразить найденные коэффициенты. Вызываем функцию ЛИНЕЙН и вводим соответствующие диапазоны
[pic 39]
Нажимаем на кнопку «ОК» и получаем результат
[pic 40]
Для предсказания стоимости квартиры в случае других значений площади нужно воспользоваться функцией ПРЕДСКАЗ.ЛИНЕЙН. Предположим нас интересует стоимость квартир с площадью кв. м. Вводим эти значения в ячейки таблицы и ставим курсор в некоторую ячейку. Вызываем функцию ПРЕДСКАЗ.ЛИНЕЙН. Чтобы корректно сработала функция, нужно поставить «галочку» на кнопку «Массив» [pic 41]
...