Решение задач оптимального управления с помощью вариационного исчисления

«Решение задач оптимального управления с помощью

вариационного исчисления»

Задание: Определить оптимальное управление, переводящее объект, описанный матрицами состояния А и управления В, из состояния x1(0), x2(0) в состояние x1(tк), x2(tк) за заданное время tк таким образом, чтобы достигался минимум функционала J.

Дано:

[pic 1]

.                                                                                     (1)[pic 2]

Решение. Требуется объект, описываемый уравнениями:

                                                                                          (2)[pic 3]

перевести из состояния x1(0) = x2(0) = 0 в состояние x1(10) = 1, x2(10) = 0 таким образом, чтобы обеспечить минимум потребления энергии:

         [pic 4]

Запишем гамильтониан:

        (3)[pic 5]

Возьмем производные от гамильтониана, тогда необходимыми условиями экстремума будут:

,        (4)[pic 6]

,        (5)[pic 7]

.        (6)[pic 8]

Из уравнения (6) получим

.        (7)[pic 9]

Подставив (7) в уравнение объекта (2) и объединив последние с уравнениями (4), (5), получим систему дифференциальных уравнений:

         (8)[pic 10]

Система (8) однородна и может быть представлена в матричном виде

,        (9)[pic 11]

где , а матрица А в данном случае имеет вид:[pic 12]

 [pic 13]

Структура решения системы, как известно, зависит от вида собственных чисел матрицы. Определим их с помощью следующего кода Matlab:

A = [-1 1 0 0;-1 0 0 -2;0 0 1 1;0 0 -1 0];

L = eig(A)

L =

  -0.5000 + 0.8660i

  -0.5000 - 0.8660i

   0.5000 + 0.8660i

   0.5000 - 0.8660i

В данном случае кратных корней нет, поэтому решение будем искать в виде:

        (10)[pic 14]

где λj (j = 1…4) − собственные числа матрицы А (определенные выше);  −  собственные  векторы, соответствующие  числам λj;    Сj − постоянные, определяемые через дополнительные условия.[pic 15]

Отметим, что в нашем случае все перечисленные величины − комплексные числа.

Определим собственные векторы матрицы A с помощью следующего вызова функции eig:

[V,D] =eig(A); V

V =

0.3536 - 0.6124i   0.3536 + 0.6124i   0.3536 - 0.2041i   0.3536 + 0.2041i

0.7071 + 0.0000i   0.7071 + 0.0000i   0.7071 + 0.0000i   0.7071 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.4082i   0.0000 - 0.4082i

0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.3536 - 0.2041i  -0.3536 + 0.2041i

Матрица  состоит из столбцов, каждый из которых − собственный вектор, определенный для соответствующего собственного числа. Матрица D нами не используется.  

Для нахождения постоянных С1…C4 воспользуемся граничными условиями:

x1(0) = x2(0) = 0,

x1(10) = 1, x2(10) = 0.

Из первых двух уравнений (10) получаем:

        (11)[pic 16]

или в матричной форме:

MC = N,        (12)