Простейшая задача вариационного исчисления

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информационно-коммуникационных технологий

Отчёт по лабораторной работе №1

Простейшая задача вариационного исчисления

Выполнил ст. гр. 0021-09М

Новиков А.В

Проверил преподаватель

Лебедев Л.В.

Псков

2020

Задание: Для заданного функционала найти экстремали и построить их графики. Определить значения функционала с учётом экстремали, длину кривой в заданных пределах аргумента. По условию Лежандра определить минимум или максимум функционала.

1. Вариант 9

1.1. Анализ подынтегральной функции

[pic 1]        [pic 2]        [pic 3]

Подынтегральная функция [pic 4], где у` – производная функции y(x), непосредственно не зависит от y. Следовательно, это первый частный случай, когда решение уравнения Эйлера упрощается. В этом случае [pic 5], значит, [pic 6].

[pic 7]

[pic 8]

1.2. Нахождение экстремалей и построение их графика

Для нахождения экстремалей следует вычислить следующий интеграл:

[pic 9]

[pic 10]

Чтобы найти постоянные интегрирования, необходимо подставить начальные условия в полученное выражение и решить систему уравнений:

[pic 11]                [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]                [pic 18]

Зная данные величины, можно построить экстремаль заданного функционала (рис.1).

[pic 19]                [pic 20]

[pic 21]

Рис.1. Экстремаль функционала, представленного в варианте №9

1.3. Определение значения функционала и длины кривой

Значение функционала с учётом экстремали будет равно:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

1.4. Определение экстремума функционала

Для определения минимума или максимума функционала следует использовать условие Лежандра: [pic 26] или [pic 27]. Зная y`, можно взять ещё одну производную по y`:

[pic 28]

Данное выражение всегда больше 0, следовательно, был определён минимум функционала.

2. Вариант 23

2.1. Анализ подынтегральной функции

[pic 29]                [pic 30]        [pic 31]

Подынтегральная функция         [pic 32], где y` – производная функции y(x), непосредственно не зависит от y. Следовательно, это первый частный случай, когда решение уравнения Эйлера упрощается. В этом случае [pic 33], значит, [pic 34].

[pic 35]

[pic 36]

2.2. Нахождение экстремалей и построение их графика

Для нахождения экстремалей следует вычислить следующий интеграл: