Практическая работа по "Математическому анализу"

Математический анализ 1

1.        Свойства операций поля действительных чисел. Пример некоммутативных и не ассоциативных операций.

(А) а+в=в+а, а*в=в*а – коммутативность

(В) (а+в)+с=а+(в+с) - ассоциативность

(С) а*(в+с)=а*в+а*с – дистрибутивность

(D) ᴲ 0,1; 0≠1    »  а+0=а   и  а*1=а – свойство нейтральных элементов.

(Е) для любого а  ᴲ  -а :  а+(-а)=0

      а≠0    ᴲ а-1: а* а-1  =1

(F) для любого а, в €  R: а=в,  а<в,  в <а – линейный порядок

(G) а<в и в<с  »   а<с  -  свойство транзитивности    

(H) а<в  для любого   с €  R

        а+с < в+с,   0<с   а*с<в*с

[R, (А)-(Е), (F)-(Н)] – упорядоченное поле.

Пример: некоммутативных операций.

4-2=2 ≠  2-4=-2

4/2=2 ≠ 2/4=½

не ассоциативных операций:

8-(4-2)=6 ≠ (8-4)-2=2

не дистрибутивности:

8/(4-2)=4 ≠ 8/4-8/2=-2

2.        Упорядоченность поля действительных чисел. Неупорядоченное поле.

Определение

Пусть [pic 1] — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение [pic 2] (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: [pic 3].
2. Транзитивность: если [pic 4] и [pic 5], то [pic 6].
3. Антисимметричность: если [pic 7] и [pic 8], то [pic 9].
4. Линейность: все элементы [pic 10] сравнимы между собой, то есть либо [pic 11], либо [pic 12].
5. Согласованность со сложением: если [pic 13], то для любого z: [pic 14].
6. Согласованность с умножением: если [pic 15] и [pic 16], то [pic 17].

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: [pic 18] означает, что [pic 19].

Отношение больше: [pic 20] означает, что [pic 21] и [pic 22].

Отношение меньше: [pic 23] означает, что [pic 24].

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Числа, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества [pic 25], ноль и [pic 26] не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим [pic 27] (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в Fследующим образом:

[pic 28], если [pic 29]

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены.

Некоторые свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные числа, отрицательные числа, нуль. Если [pic 30]положителен, то [pic 31] отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле [pic 32] и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если [pic 33] и [pic 34], то [pic 35].

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если [pic 36] и [pic 37], то [pic 38].

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда [pic 39] не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное емурациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле. Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: [pic 40], где [pic 41] — многочлены, [pic 42]. Упорядочим его следующим образом.

• Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) упорядочены традиционным образом.
• Пусть [pic 43], [pic 44] Будем считать, что дробь [pic 45], если [pic 46].
• Из определения вытекает, что многочлен [pic 47] больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово.

• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.

3.        Неравенство треугольника, абсолютное значение действительных чисел.

Если а, в €  R, то |a+в|≤|а|+|в|

1. а, в ≥0   »  а+в≥0

          |a+в|=а+в=|а|+|в|