Лекция по "Вычислительной математике"

ПОГРЕШНОСТИ:

Абсолютная погрешность – определяет интервал, в котором лежит точное значение величины. Пусть A – точное значение, a – приближенное, за абсолютную погрешность принимается минимальное число  . Относительная погрешность служит для оценки качества измерений.[pic 1]

[pic 2]

        Погрешность функции – это значение по модулю от суммы частных производных по каждой переменной от искомой функции, где каждая производная умножается на абсолютную погрешность по переменной дифференцирования.

[pic 3]

        Абсолютная погрешность суммы, разности, произведения и частного – сумма двух погрешностей.

        Виды ошибок: 1) Погрешность упрощения модели; 2) Погрешность начальных данных; 3) Погрешность округления при расчетах.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ:

        Задача интерполяции состоит в нахождении кривой, проходящей через заданный набор точек или же построение функции, описывающей зависимость между узлами. [pic 4]

        Конечной разностью первого порядка называют величину yi+1-yi.[pic 5]

Конечная разность второго порядка определяется как: . И т.д – рекуррентное соотношение.[pic 6]

Первый полином Ньютона улучшает точность приближения на левой границе интервала интерполяции (верхняя половина таблицы). Имеет вид:

[pic 7]

Где  – нулевая конечная разность порядка n[pic 8]

Второй полином Ньютона улучшает точность приближения на правой границе интервала интерполяции (нижняя половина таблицы). Имеет вид:

[pic 9]

Интерполяция сплайнами – метод интерполяции, при котором функция аппроксимируется с использованием кусочно-гладких кривых, называемых сплайнами. Сплайн - функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a; b] и является алгебраическим многочленом.

        Задача аппроксимации заключается в нахождении функции, которая наилучшим образом приближает заданный набор данных или функцию.

        Метод наименьших квадратов – метод, используемый для аппроксимации данных, заключается в минимизации сумм квадратов разностей между предсказанными и фактическими значениями.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ:

        Общий вид уравнения f(x)=0. Решить уравнение означает определить x*, такое что f(x*) = 0. Геометрически корень - это пересечение с осью OX. Интервал изоляции – промежуток, на котором существует единственный корень. Задача делится на два этапа:

1)Локализация корня – поиск интервала изоляции путем анализа f(x) в пробных точках.

2)Уточнение корня на интервале изоляции.

Условие существование единственного корня на промежутке [a; b]: Если f(x) непрерывна на [a; b], монотонна (f’(x) >/< 0), и меняет знак на концах отрезка, то на этом отрезке существует единственный корень.

        Метод половинного деления заключается в делении отрезка пополам, тем самым происходит уточнение корня. Надо сложить концы отрезка, в котором находится корень, поделить на 2, узнать значение функции в этой точке, в зависимости от знака выбрать новый интервал. Повторять шаги пока не будет достигнута нужная точность. Для сходимости метода необходимо чтобы f(x) была непрерывна на [a; b] и на концах отрезка имела разные знаки.

        Метод хорд. Пусть на отрезке [a; b] f(x) имеет единственный корень, на этом отрезке функция непрерывна, на концах отрезка имеет разные знаки, и на этом отрезке не имеет точек перегиба (вторая производная не меняет знак). В качестве начального приближения выберем левый конец интервала. Проведем хорду, соединяющую левый конец с правым. Точка пересечения этой прямой с OX и есть первое приближение корня. Затем абсциссу этой точки соединяем с правой границей интервала, точка пересечения - это следующее приближение и т.д.[pic 10]