Концепции, необходимые для доказательства Теорема Дирихле

Концепции, необходимые для доказательства

Теорема Дирихле

Определение: Пусть G и G’ – две непустые группы, тогда отображение          φ: G → G’ называется групповым гомоморфизмом, если:

1. φ(ab)= φ(a)φ(b) для всех a,b ∈ G
2. φ(eG)=eG’, где eG – элемент идентичности в G, а  eG’ -элемент идентичности в G’.

Произведение ab является произведением элементов по отношению к групповой операции G, а произведение φ(a)φ(b) является произведением элементов по отношению к групповой операции G’.

Определение: Пусть G1, G2,…, Gn – n группы. Мы определяем прямое произведение этих групп как G1 × G2 ×… × Gn = {( a1, a2,…, an) | ai ∈ Gi , для всех 1≤ i≤ n}. Эта группа определяется ( a1, a2,…, an) ( b1, b2,…, bn)= ( a1 b1, a2 b2,…, an bn) для всех ( a1, a2,…, an) ( b1, b2,…, bn)∈ G1 × G2 ×… × Gn.

Теорема 1. Любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков, являющихся степенями простых чисел.

Следующее определение может быть обобщено на абелевы группы в целом, однако нас будут интересовать только конечные абелевы группы.

Определение: Пусть G - конечная абелева группа. Мы определяем двойственную группу G, обозначаемую как группу гомоморфизмов x: G→Cх. Эти групповые гомоморфизмы называются групповыми символами или просто символами. Напомним, что и .[pic 1][pic 2][pic 3]

Двойные группы играют фундаментальную роль в современной теории чисел, а также находят применение в анализе Фурье.

Предположим, что G - конечная абелева группа порядка n.  Предположим, что  поэтому x является групповым гомоморфизмом, тогда, если G записывается аддитивно, мы имеем, что[pic 4][pic 5]

 для всех ,[pic 6][pic 7]

где и если G - мультипликативная группа, то мы имеем[pic 8]

 для всех ,[pic 9][pic 10]

где Мы определяем уникальный характер  такой, что[pic 11][pic 12]

[pic 13]

 обычно называют главным характером G. [pic 14]

Предположим, что с так что затем[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Однако, поскольку теорема Лагранжа утверждает, что  существует  такое, что  и, следовательно,[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

таким образом, x на самом деле является n-м корнем из единицы, и, следовательно, абсолютное значение x является  для всех [pic 23][pic 24]

Теперь мы определяем, что мы подразумеваем под произведением двух символов  Для всех мы определяем[pic 25][pic 26]

[pic 27]

Очевидно, что  является символом идентичности, так как для всех [pic 28][pic 29]

[pic 30]

и

[pic 31]

С тех пор, для всех у нас есть то, что наш результат ассоциативен по ассоциативности n-го корня единства. Поэтому в  у нас есть ассоциативная, коммутативная двоичная операция с элементом идентичности , но как насчет инверсий? [pic 32][pic 33][pic 34]

С тех пор, для всех  мы определяем сопряженное число будет[pic 35][pic 36]

 для всех [pic 37][pic 38]

Так как , мы имеем[pic 39]

для всех .[pic 40][pic 41]

Таким образом, мы показали, что  является абелевой группой при наших определенных операциях. [pic 42]