Контрольная работа по "Математической статистике"
Автор: n1a2d3 • Апрель 23, 2023 • Контрольная работа • 711 Слов (3 Страниц) • 121 Просмотры
Задания по Математической статистике к семинару №2
- По выборке одномерной случайной величины
- построить график эмпирической функции распределения [pic 1],
- построить гистограмму относительных частот,
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии,
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности [pic 2],
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия Пирсона при уровне значимости [pic 3].
Одномерная выборка:
[pic 4] | 0,1-0,2 | 0,2-0,3 | 0,3-0,4 | 0,4-0,5 | 0,5-0,6 |
[pic 5] | 7 | 22 | 38 | 24 | 9 |
Решение. Найдем объем выборки: [pic 6]
Найдем относительные частоты:
[pic 7] | 0,1-0,2 | 0,2-0,3 | 0,3-0,4 | 0,4-0,5 | 0,5-0,6 |
[pic 8] | 7 | 22 | 38 | 24 | 9 |
[pic 9] | 0,07 | 0,22 | 0,38 | 0,24 | 0,09 |
Нижняя граница первого интервала равна 0,1, поэтому F*(x) = 0 при [pic 10]
При X < 0,2, относительная частота равна 0,07, следовательно, [pic 11] при [pic 12]
При x < 0,3, значение x попадает либо в первый интервал с относительной частотой 0,07, либо во второй с относительной частотой 0,22, следовательно, [pic 13] при [pic 14]
Аналогично
[pic 15] при [pic 16]
[pic 17] при [pic 18]
Наконец, F*(x) = 1 при x > 0,5.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
[pic 19]
График этой функции изображен на рис. 1.
[pic 20]
Рис. 1
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h = 0,1:
[pic 21] [pic 22] [pic 23][pic 24][pic 25]
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Изобразим над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, на интервале (0,1; 0,2) построим отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,7. Аналогично строим остальные отрезки.
Искомая гистограмма относительных частот изображена на рис. 2.
[pic 26]
Рис. 2
Чтобы найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии, дополним выборку серединами интервалов
[pic 27] | 0,1-0,2 | 0,2-0,3 | 0,3-0,4 | 0,4-0,5 | 0,5-0,6 |
[pic 28] | 0,15 | 0,25 | 0,35 | 0,45 | 0,55 |
[pic 29] | 7 | 22 | 38 | 24 | 9 |
Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии:
[pic 30]
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Чтобы найти интервальные оценки, решим уравнение [pic 34] используя таблицу значений функции Лапласа. Для t получим значение 1,96. Затем найдем концы доверительного интервала:
[pic 35]
[pic 36]
Таким образом, (0,335; 0,377) – искомый доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95, т. е.
[pic 37]
Чтобы найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии, вычислим [pic 38], [pic 39], k = 100 – 1 = 99. По таблице критических значений распределения [pic 40] находим: [pic 41], [pic 42],
[pic 43],
[pic 44],
Таким образом, (0,008; 0,015) – искомый доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,95, т. е.
[pic 45]
По виду гистограммы и эмпирической функции распределения выдвигаем гипотезу о том, что данная случайная величина распределена по нормальному закону.
...