Контрольная работа по "Математической статистике"

СОДЕРЖАНИЕ

Контрольная работа № 1        3

Контрольная работа № 2        6

Контрольная работа № 3        11

Контрольная работа № 1

Задание 1. Вычислить вероятности событий указанных в тексте. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых 4 с дефектами. Найти вероятность того, что из трех взятых наудачу велосипедов 2 будут с дефектами.

Решение

Случайным образом выбирают 3 велосипеда из 10 имеющихся.

Пусть событие А состоит в том что 2 из них с дефектами, 1 без дефектов.

Общее число элементарных исходов равно [pic 1]

Число исходов благоприятных А равно [pic 2]

По формуле классической вероятности [pic 3]

Задание 2. Вычислить вероятности событий, указанных в тексте. За круглым столом сидят 5 мужчин и 5 женщин. Какова вероятность того, что два лица одинакового пола не сидят рядом если места занимались случайно.

Решение

 а) Пусть событие А – никакие два лица одного пола не сядут рядом. Общее число способов рассадки 10 лиц на 10 местах определяется числом перестановок n = Р10 = 10!. Если женщины займут чётные места 5! способами, то мужчины будут занимать нечётные места также 5! способами и наоборот, т.е. число случаев, благоприятствующих событию А равно M= 2 ∙ ( 5! )2. Поэтому справедливо

[pic 4]

Задание 3. Вычислить вероятности событий, указанных в тексте. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров равна 11?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что сумма номеров вынутых шаров равна 11

Всего комбинаций номеров может быть [pic 5]  так как в каждом ящике по 5 шаров.

Комбинации благоприятные А следующие

[pic 6]

Всего их [pic 7]

По формуле классической вероятности [pic 8]

Задание 4. Вычислить вероятности событий, пользуясь формулами сложения и умножения вероятностей. Три стрелка одновременно делают по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена только одной пулей, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго 0,7, для третьего 0,6

Решение

Даны вероятности попадания

[pic 9]  для первого стрелка

[pic 10]для второго стрелка

[pic 11]для третьего стрелка

Найдем вероятности промахов

[pic 12]  для первого стрелка

[pic 13]для второго стрелка

[pic 14]для третьего стрелка

Событие А состоит в том что мишень поражена 1 пулей. Значит, возможны три варианта

1. Попал 1 стрелок, а 2 и 3 промахнулись - ИЛИ
2. Попал 2 стрелок а 1 и 3 промахнулись- ИЛИ
3. Попал 3 стрелок а 1 и 2 промахнулись.

Используя формулы сложения и умножения вероятностей, получим

[pic 15]

Задание 5. Вычислить вероятности событий, пользуясь формулой полной вероятности и/или формулой Байеса. На заводе 30 % деталей производится цехом №1, 45% - цехом №2, 25% - цехом №3. Вероятность изготовления бракованной детали для 1-го цеха равна 0,05, для 2 – 0,01, для 3 – 0,04. Наугад выбранная из общего потока деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что эта деталь была изготовлена 1-м цехом.

Решение

Построим систему гипотез о том, из какого цеха поступило изделие.

Пусть гипотеза [pic 16] состоит в том, что с первого,

Пусть гипотеза [pic 17] состоит в том, что со второго

Пусть гипотеза [pic 18] состоит в том, что с третьего.

По условию, вероятности этих событий [pic 19]

События по условию несовместны, поэтому

[pic 20]

[pic 21], [pic 22]и  [pic 23] образуют полную группу событий. Они независимы и несовместны. Сумма их вероятностей =1.

Пусть событие А состоит в том, что случайное изделие бракованное.

...