Векторларды дифференциялдау және оның қозғалыстағы координат жүйесіне қатысы. Гамильтонның операторы. Кейбір қолданулар

Векторларды дифференциялдау және оның қозғалыстағы координат жүйесіне қатысы. Гамильтонның операторы. Кейбір қолданулар.

Градиент

φ(x, y, z) – кеңістіктің скалярлық функциясы, яғни функция тек кеңістік нүктелерінің (x, y, z) мәндеріне ғана тәуелді болсын. Скаляр болғандықтан кеңістіктің бекітілген кез келген нүктесі координаталар жүйесінің бұрылысына тәуелсіз өзінің мәнін өзгертпеуі қажет, яғни:

32

φ′(x′,x′,x′)=φ(x,x ,x ) теңдеуін пайдалана отырып x′ бойынша дифференци- алдап, табатынымыз:

i

∂φ′(x′,x′,x′) ∂φ(x ,x ,x ) 123=123=

∂x′ ∂x′ ii

=∑∂φ⋅∂xj =∂xj =a =∑a⋅∂φ. векторды түрлендіру заңымен салыстырсақ, онда ∂φ

құрамдас бөліктері болатын векторды немесе

􏰀 􏰀∂φ 􏰀∂φ 􏰀∂φ ∇φ = i ∂x + j ∂y + k ∂z

􏰀􏰀∂ 􏰀∂ 􏰀∂ ∇ = i ∂x + j ∂y + k ∂z .

Дивергенция

Векторлық функцияларды дифференциалдау скалярлық фун- кцияларды дифференциалдаудың жалпы түрі болып табылады. Мысалы: r (t ) дененің кеңістіктегі t уақытындағы орнын анықтасын. Ротор

Кез келген векторға векторлық көбейтіндісінің операциясын келесі теңдеумен анықтауға болады

􏰀 􏰀 􏰀⎛∂ ∇ × v = i ⎜ ⎝∂y

vz −

∂ ⎞ 􏰀⎛∂ vy ⎟ + j ⎜ ∂ ⎞ vz ⎟ +

∂z ⎠ ⎝∂z

vx − 􏰀􏰀􏰀

∂x ⎠ ijk

􏰀⎛∂ ∂⎞∂∂∂

+k⎜ vy − vx⎟= . (1.64)

⎝∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y ∂z vx vy vz

Пайда болған өрнекті v􏰀 векторының роторы деп атайды.

Гамильтон