Контрольная работа по "Логике"

9 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Найдите все значения x, для которых .

Ответ: (–1,5; 1,5).

Значение данного квадратного корня отлично от нуля, если это выражение имеет смысл и подкоренное выражение не равно нулю, то есть если 9 – 4x2 > 0 ⇔ |x| < 1,5 ⇔ –1,5 < x < 1,5.

Рис. 1

1.2. В треугольник АВС с прямым углом С и углом В, равным 30°, вписана окружность радиуса 1. Найдите расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной ВС.

Ответ: .

Пусть I – центр вписанной окружности, D и E – точки касания этой окружности с катетами ВС и АС соответственно (см. рис. 1). Четырехугольник IECD – квадрат, так как все его углы прямые и ID = IE. Поэтому CD = CE = r = 1.

Первый способ. Проведем отрезок AI. В треугольнике АЕI угол Е – прямой, а ∠ЕАI = 30° (так как AI – биссектриса угла САВ, равного 60°). Тогда АЕ =  = ; АС = АЕ + r =  + 1. Из прямоугольного треугольника АСD: AD2 = AC2 + CD2 = 5 + 2.

Второй способ. Из равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, можно вывести формулу , справедливую для любого прямоугольного треугольника с катетами а и b и гипотенузой с.

В нашем случае: пусть АС = b, тогда ВС =  = b; АВ = 2b. Подставив эти выражения в указанное выше равенство, получим уравнение: . Следовательно, . Из прямоугольного треугольника АСD: AD2 = AC2 + CD2 = 5 + 2.

1.3. Сколько натуральных чисел вида 3n + 1, где n – натуральное число, являются точными квадратами?

Ответ: одно.

Пусть 3n + 1 = m2, где m – натуральное число. Тогда 3n = (m – 1)(m + 1). Множители правой части отличаются на 2 и являются степенями тройки. Это возможно только в одном случае: если они равны 1 и 3 соответственно, то есть m = 2. Следовательно, условие задачи выполняется только при n = 1.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Найдите все такие а и b, что уравнения x2 + ax + b2 = 0 и x2 + bx + a2 = 0 имеют общий корень. 

Ответ: а = b = 0.

Пусть а и b – искомые числа, x – общий корень данных уравнений. Тогда оба уравнения становятся верными равенствами. Вычитая из первого равенства второе, получим: (а – b)x + (b – a)(b + a) = 0 ⇔ (а – b)(x – a – b) = 0 ⇔ a = b или x = a + b.

1) Если a = b, то надо найти все такие а, при которых уравнение x2 + ax + a2 = 0 имеет корни. Поскольку D = a2 – 4a2 = –3a2 ≤ 0, то уравнение имеет корни только при а = 0.