Нерекурсивные цифровые фильтры

Лабораторная работа №1

Нерекурсивные цифровые фильтры

Цифровой фильтр, значения выходного дискретного сигнала y(n) которого в любой момент nT определяется лишь значениями входного дискретного сигнала в этот же момент и К-1 его прошлыми значениями. называется нерекурсивным. Другие названия – КИХ – фильтр, трансверсальный

Разностное уравнение

                                    [pic 1]                                                  Пример. Определить y(n), если x(n) = {1,0 ; 0,5}. Разностное уравнение цепи y(n) = 0,1 x(n) + 0,5 x(n - 1)

                                   Решение

n=0;    y (0) =  0,1  x(0) + 0,5 x(-1)  = 0,1·1,0 + 0,5·0 = 0,1;

n=1;    y (1) =  0,1 x(1) + 0,5 x(0) = 0,1·0,5 + 0,5·1,0 = 0,55;

n=2;    y (2) =  0,1 x(2) + 0,5 x(1) = 0,1·0 + 0,5·0,5 = 0,25;

n=3;    y (3) =  0,1 x(3) + 0,5 x(2) = 0,1·0 + 0,5·0 = 0.

Следовательно  y(n) = {0,1; 0,55; 0,25}.

Графики сигналов x(n) и y(n) приведены на рисунке.

               [pic 2]               

Передаточная функция нерекурсивного фильтра имет вид

                                    [pic 3]          

Для рассматриваемого примера H(z) = 0,1 + 0,5z-1        

Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра имеет вид

[pic 4]

Для рассматриваемого примера

[pic 5]

Вывод: коэффициенты разностного уравнения, коэффициенты передаточной функции и отсчеты импульсной характеристики для нерекурсивного цифрового фильтра совпадают.

Если в разностном уравнении заменить коэффициенты  на импульсную характеристику , то получим уравнение алгоритма фильтрации  [pic 6][pic 7]

[pic 8]

Вывод: выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики

Пример:

 цифровой фильтр имеет импульсную характеристику

g(n) = {0,7 ; 0,4}

На вход поступает последовательность отсчетов

x(k) = {0,9 ; 0,5; 0,2}

Определить выходной сигнал y(m). Чему равно m?

Решение

y (0) = 0,7·0,9 = 0,63

y (1) = 0,7·0,5 + 0,4·0,9 = 0,71

y (2) = 0,7·0,2 + 0,4·0,5 = 0,34

y (3) = 0,4·0,2 = 0,08

y (4) = 0

y(n) = {0,63; 0,71; 0,34; 0,08}

m = n + k - 1

Частотные характеристики получают из передаточной функции путем замены

 z -k  на  .  Применив формулу Эйлера    можно представить частотную характеристику в тригонометрической форме.[pic 9][pic 10]

[pic 11]

Амплитудно-частотная характеристика равна

[pic 12]

 Фазочастотная характеристика равна

[pic 13]

В общем виде схема НЦФ представлена на рисунке

[pic 14]

Для рассматриваемого выше примера схема НЦФ имеет вид

[pic 15]

Задача 1.  На вход нерекурсивного цифрового фильтра с импульсной характеристикой  g(nT) (таблица 1.2) подается сигнал x(kT) (таблица 1.1)

Требуется:

1. Найти системную функцию H(z) фильтра.

2. Записать алгоритм цифровой фильтрации.

3. Изобразить схему фильтра.

4. Определить сигнал на выходе фильтра y(nT).

5. Найти частотную характеристику H(jω) фильтра.

6. Найти АЧХ A(ω) фильтра.

7. Найти ФЧХ φ(ω) фильтра.

Таблица 1.1

Таблица 1.2

1. Системную функцию фильтра определяем по формуле

[pic 16]

2. Алгоритм цифровой фильтрации определяется по формуле

[pic 17]

3. Структурная схема фильтра определяется алгоритмом цифровой фильтрации и представлена на рисунке 1.

[pic 18]

Рисунок 1.1 – Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра

4. Сигнал на выходе фильтра определяется алгоритмом цифровой фильтрации. Применив программу Excel, вычислим    y(nT):