Производная сложной функции

Вопрос 42. Производная сложной функции

Производная сложной функции равна произведению производных от функций, составляющих данную функцию.

Те о р е м а  1. Если функция [pic 1] имеет производную в точке [pic 2], а функция [pic 3] имеет производную в точке [pic 4], то сложная функция

[pic 5]                                                     (1)

имеет производную (по [pic 6]) в точке [pic 7] и справедливо равенство

[pic 8]                                                      (2)

или

[pic 9].                                                             (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим [pic 10], ему соответствует значение [pic 11]. Придадим [pic 12] приращение [pic 13], это вызовет приращение [pic 14]. Так как функция [pic 15] имеет производную в точке [pic 16], то на основании равенства (2) имеем

[pic 17],                                               (4)

где [pic 18] при [pic 19].

Будем считать, что [pic 20]. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него [pic 21], то получится [pic 22].

Разделим теперь равенство (4) на [pic 23]:

[pic 24].                                               (5)

Пусть [pic 25]  стремится к нулю. Тогда [pic 26], потому что функция [pic 27] имеет производную в точке [pic 28] и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при [pic 29]. Тогда [pic 30] и [pic 31], поэтому получим

[pic 32].

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если [pic 33], [pic 34], [pic 35] и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то [pic 36].

П р и м е р  1. [pic 37]  [pic 38].

Полагаем [pic 39], [pic 40], [pic 41]. Тогда

[pic 42].

П р и м е р  2.  [pic 43].

Полагаем [pic 44]. Тогда

[pic 45].

Обычно при вычислениях вспомогательные переменные [pic 46] не вводят, а только подразумевают их.

В случае примера 1 вычисления выглядят так:

[pic 47].

Или еще короче

[pic 48].

Вопрос 43. Производная по направлению и градиент

Определение. Производной [pic 49]по направлению l функции двух переменных [pic 50]называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения [pic 51]при стремлении последней к нулю, то есть:

Производная [pic 53]характеризует скорость изменения функции в направлении l.

Частные производные [pic 54]и [pic 55]представляют производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy.

Производная по направлению вычисляется по формуле:

Пример 1. Найти производную функции [pic 57]в точке [pic 58]в направлении точки [pic 59]

Решение: Производная по направлению находится по формуле [pic 60].

Найдем частные производные:

[pic 61]и [pic 62].

Найдем направляющие косинусы, задающие направление: