Производная функции. Геометрический и механический смысл производной

ЛЕКЦИЯ 11

Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Таблица производных основных элементарных функций. Дифференциал функции. Производные высших порядков.

цель лекции: ввести понятие производной функции, рассмотреть геометрический и механический смысл производной, правила дифференцирования

ключевые слова (термины): производная функции, дифференцирование

основные вопросы (положения) и краткое содержание

              Пусть дана функция  [pic 1], которая определена в некотором промежутке. Дадим аргументу х приращение [pic 2](положительное или отрицательное – безразлично). Тогда функция  [pic 3] получит приращение  [pic 4], т.е:  [pic 5] 

             Найдем приращение функции  [pic 6]:   [pic 7] и составим отношение    приращения функции к приращению аргумента:    [pic 8]

             Найдем предел этого отношения при  [pic 9]. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции [pic 10] и обозначают [pic 11]. Таким образом, по определению         [pic 12]                           (4.1)

     Наряду с обозначением  [pic 13] применяют и другие обозначения, такие как: [pic 14].

            Действие нахождения производной от функции    [pic 15] называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х называют   дифференцируемой в этой точке х.

           Пример 1.  Найдем производную функции [pic 16].

           Решение.  Найдем приращение функции:

                          [pic 17] ,    [pic 18],    

                                     [pic 19].

Составляем отношение:  [pic 20].

Тогда   [pic 21].

         Итак, производная функции   [pic 22]   равна:   [pic 23].

          Пример 2. Дана функция  [pic 24] .  Найти    [pic 25].

          Решение.       Приращение этой функции равно:      [pic 26]

Составляем отношение:          [pic 27].

Находим предел полученного выражения  [pic 28].

Т.е.     [pic 29].

          Механический смысл производной.    

          Если зависимость расстояния  S движущейся точки от времени  t  выражается формулой  [pic 30], то скорость v  в момент времени  t  можно выразить формулой:    

                                [pic 31]

         Таким образом, производная от пути S по времени t равна скорости движущейся точки. В этом состоит механический (физический смысл) производной.

         Геометрический смысл производной.  

        Рассмотрим график функции [pic 32]. Зафиксируем  на кривой [pic 33] точку [pic 34]. Дадим аргументу х приращение  [pic 35], вследствие чего функция у получит приращение  [pic 36]. Построим точку  [pic 37].

                                                                    Пусть функция  [pic 38] в точке  [pic 39][pic 40]

                                   В                          [pic 41] имеет производную [pic 42].                                                              [pic 43][pic 44][pic 45]

                                                                     Известно, что                                                                                                      

            А                           [pic 46]                   [pic 47]           [pic 48][pic 49]