Знаходження визначеного інтегралу за допомогою квадратурних методів

Знаходження визначеного інтегралу за допомогою квадратурних методів

Найпростіший метод наближеного обчислення інтеграла на ЕОМ є метод прямокутників, суть якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ N прямокутників (з висотою [pic 1] та основою [pic 2]), отриманих шляхом розбиття відрізка інтегрування [а,b] на N рівних частин. В цьому випадку розділити на прямокутники можна або зліва на право (рис. а), тоді отримаємо формулу лівих прямокутників, або справа наліво (рис. б), тоді отримаємо формулу правих прямокутників.[pic 3]

Формула лівих прямокутників має вигляд:

[pic 4]

Формула правих прямокутників має вигляд:

[pic 5]

Суть методу трапецій полягає в тому, що інтеграл обчислюється таким чином: відрізок інтегрування [а,b] поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива [pic 6] замінюється кусково-лінійною функцією [pic 7], отриманою стягуванням ординат N відрізків [xi-1, xi] хордами.[pic 8]

Інтеграл знаходиться як сума площ Si  прямокутних трапецій (pис. а, б).

Площа кожної такої трапеції визначається як [pic 9]. Відповідно на всьому відрізку інтегрування [а,b] площа складної фігури, яка визначається як сума площин всіх таких трапецій, визначається формулою:

[pic 10]

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапеції визначається: [pic 11].

У методі парабол інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка [а,b] на N пар відрізків та, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному такому відрізку [xi, xi+2], підінтегральну функцію [pic 12] замінюють квадратичною параболою [pic 13] (рис. а, б), і обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми площин N криволінійних трапецій Si: [pic 14]Площа кожної такої криволінійної трапеції визначається за формулою Сімпсона:[pic 15] або [pic 16] де [pic 17]тобто кількість відрізків повинна бути парною.[pic 18]

Приклад рішення:

1. Обчислити визначений інтеграл [pic 19] при n=10 за формулою лівих прямокутників.

1. Створіть таблицю і заповніть її даними за поданим зразком.

[pic 20]

1. Ввести в комірку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
2. Вести в комірку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y0,...,y(n-1).
3. Ввести в комірку A7 число 0.
4. Ввести в комірку A8 формулу =A7+1, скопіюйте її в діапазон A8:A17.
5. Ввести в комірку B7 число 0.
6. Ввести в комірку B8 формулу =B7+$B$4, скопіюйте її в діапазон B8:B17.
7. Ввести в комірку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8),  скопіюйте її в діапазон C8:C16.
8. Ввести в комірку B18 текст сума:.
9. Ввести в комірку B19 текст інтеграл=.
10. Ввести в комірку C18 формулу =СУММ(C7:C16).
11. Ввести в комірку C19 формулу =B4*C18.
12. Ввести в комірку C20 текст лівих.

В результаті отримаємо: значення заданого інтеграла рівне 12,500377.

1. Обчислити визначений інтеграл [pic 21] при n=10 за формулою правих прямокутників.

1. Продовжити роботу в тому ж документі, де обчислювався інтеграл за формулою лівих прямокутників.
2. В  комірку D6 ввести текст y1,…, yn.
3. Ввести в комірку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопіюйте її в діапазон D9:D17.
4. Ввести в комірку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
5. Ввести в комірку D19 формулу =B4*D18.
6. Ввести в комірку D20 текст правих.

В результаті отримаємо: значення заданого інтеграла рівне 14,45905.

3. Обчислити визначений інтеграл [pic 22] при n=10 за формулою середніх прямокутників.

1. Продовжити роботу в тому ж документі, де обчислювався інтеграл за формулами лівих та правих прямокутників.
2. В  комірку Е6 ввести текст xi+h/2, а в F6 - f(xi+h/2).
3. Ввести в комірку Е7 формулу =B7+$B$4/2, скопіюйте її в діапазон Е8:Е16.
4. Ввести в комірку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопіюйте її в діапазон F8:F16.
5. Ввести в комірку F18 формулу =СУММ(F7:F16).
6. Ввести в комірку F19 формулу =B4*F18.
7. Ввести в комірку F20 текст cередніх.

В результаті отримаємо: значення заданого інтеграла рівне 13,40797.

4. За формулою трапецій обчислити визначений інтеграл [pic 23] при n=10.

1. Створіть таблицю і заповніть її даними за поданим зразком.

[pic 24]

1. Ввести в комірку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
2. Заповнити діапазон комірок A6:D6 наступним чином:

[pic 25]

1. Ввести в комірку A7 число 0.
2. Ввести в комірку A8 формулу =A7+1, скопіюйте її в діапазон A8:A17.
3. Ввести в комірку B7 число 0.
4. Ввести в комірку B8 формулу =B7+$B$4, скопіюйте її в діапазон B8:B17.
5. Ввести в комірку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в комірку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).
6. Ввести в комірку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопіюйте її в діапазон D8:B16.
7. Ввести в комірку B18 текст суми:.
8. Ввести в комірку C18 формулу =СУММ(C7:C17).
9. Ввести в комірку D18 формулу =СУММ(D8:D16).
10. Ввести в комірку A19 текст интеграл=.
11. Ввести в комірку B19 формулу =B4*(C18/2+D18).

В результаті отримаємо: значення заданого інтеграла рівне 13,47971.

5. За формулою парабол обчислити визначений інтеграл [pic 26] при n=10